Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja :
múltiplo de 4 ou 5 .
múltiplo de 4 ou 5 .
Passo 1
Enunciado e dados que temos: uma urna contém
bolas numeradas de
a
. Retira-se uma bola ao acaso (todas as bolas têm a mesma chance). A pergunta é: qual a probabilidade de que o número sorteado seja múltiplo de
ou de
?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Eventos que vamos considerar:
Passo 2
Conceito básico de probabilidade que vamos usar: quando todos os resultados são igualmente prováveis,
Aqui o número total de resultados é
. Então qualquer probabilidade será um quociente com denominador
(antes de simplificar).
Passo 3
Como contar múltiplos de um inteiro no conjunto
: o número de múltiplos de um inteiro
é a parte inteira de
(ou seja, quantos inteiros positivos
satisfazem
). Para
:
Lista prática (para conferir):
. São
números, logo
Passo 4
Para
:
Lista prática:
. São
números, então
Passo 5
Devemos tomar cuidado com a interseção
(números múltiplos de
e de
ao mesmo tempo). Um número é múltiplo de ambos quando é múltiplo do mínimo múltiplo comum
. Contagem:
Lista prática: apenas
. Portanto
Passo 6
Regra da união (fórmula da contagem para evitar dupla contagem):
Substituindo:
Logo a probabilidade pedida é
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum
:
Em forma decimal e percentual:
Passo 7
Verificação rápida por listagem (cheque para ficar tranquilo): a união dos múltiplos é
que tem realmente
elementos — bate com os cálculos acima.