Uma urna contém 2 bolas brancas e 4 vermelhas. Bolas são selecionadas desta urna, uma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até esvaziar a urna. Determine a probabilidade de que a 2^circ bola branca saia somente na quarta retirada;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma urna com 2 bolas brancas e 4 vermelhas, totalizando 6 bolas. As bolas são retiradas uma de cada vez, sem colocar de volta na urna. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que a segunda bola branca seja retirada exatamente na quarta tentativa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, como combinações e a ideia de eventos específicos acontecendo em uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a segunda bola branca seja retirada na quarta tentativa. Isso implica que, nas três primeiras retiradas, devemos ter exatamente uma bola branca e duas vermelhas, e na quarta retirada, a segunda bola branca é puxada.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de puxar uma bola branca na quarta tentativa, dado que já puxamos uma branca nas três primeiras. Para isso, precisamos considerar duas partes:
  1. A probabilidade de, nas três primeiras retiradas, puxar exatamente uma branca e duas vermelhas.
  2. A probabilidade de, na quarta retirada, puxar a segunda bola branca restante.

Passo 4

Parte 1: Vamos calcular o número de maneiras de puxar uma branca e duas vermelhas nas três primeiras tentativas.
O número total de maneiras de escolher 3 bolas de 6 é dado por:
binom63 = 20
O número de maneiras de escolher 1 branca de 2 é:
binom21 = 2
E o número de maneiras de escolher 2 vermelhas de 4 é:
binom42 = 6
Então, o número de combinações favoráveis para esta parte é:
2 times 6 = 12
Portanto, a probabilidade dessa parte é:
1220 = 35

Passo 5

Parte 2: Agora, após ter retirado 1 branca e 2 vermelhas, restam na urna 1 branca e 2 vermelhas, totalizando 3 bolas.
A probabilidade de puxar a segunda bola branca na quarta tentativa é, então:
13

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade total, multiplicamos as probabilidades das duas partes:
35 times 13 = 15

Resposta

A probabilidade de que a segunda bola branca seja retirada exatamente na quarta tentativa é 15.

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