Uma urna contém bolas vermelhas e azuis em igual quantidade. Se extraímos 80 bolas, cada uma com probabilidade p=0,5 de ser vermelha, qual é o desvio padrão do número de bolas vermelhas retiradas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com bolas vermelhas e azuis na mesma quantidade. A pergunta é sobre o desvio padrão do número de bolas vermelhas que vamos retirar se pegarmos 80 bolas, sabendo que cada bola tem 50% de chance de ser vermelha. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade” nesse contexto. Cada vez que retiramos uma bola, ela pode ser vermelha ou azul, e a probabilidade de ser vermelha é de $ p = 0,5 $. Isso quer dizer que, para cada retirada, há 50% de chance de sair vermelha.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a distribuição binomial. Essa distribuição é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (como vermelho ou azul), e a probabilidade de sucesso (nesse caso, tirar uma bola vermelha) é sempre a mesma em cada tentativa.

Passo 4

Na distribuição binomial, temos dois parâmetros importantes: $ n $, que é o número de tentativas, e $ p $, que é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. No nosso caso, $ n = 80 $ (já que vamos retirar 80 bolas) e $ p = 0,5 $.

Passo 5

Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância da distribuição binomial. A fórmula da variância é:
Variância = n times p times (1 - p) â
Substituindo os valores:
Variância = 80 times 0,5 times (1 - 0,5) = 80 times 0,5 times 0,5 = 20 â

Passo 6

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Então:
Desvio Padrão = raizVariância = raiz20 approx 4,47 ãâ

Resposta

O desvio padrão do número de bolas vermelhas retiradas é aproximadamente 4,47.

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