Se Y=2 X-4, E(Y)=8 e \operatorname{Var}(Y)=4, quais são a média e variância de X ?

Passo 1

O enunciado nos dá a variável aleatória Y definida por
Y = 2X - 4
e fornece
\mathbb{E}(Y)=8 \quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(Y)=4.
O que queremos é \mathbb{E}(X) e \operatorname{Var}(X). Para isso usaremos as propriedades de esperança e variância de uma transformação linear de X.

Passo 2

A propriedade da esperança diz que, para Y = aX + b,
\mathbb{E}(Y) = a\,\mathbb{E}(X) + b.
Aqui a=2 e b=-4, e sabemos que \mathbb{E}(Y)=8. Logo,
8 = 2\,\mathbb{E}(X) - 4 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\mathbb{E}(X) = 12 \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{E}(X) = 6.

Passo 3

A propriedade da variância diz que, para Y = aX + b,
\operatorname{Var}(Y) = a^2\,\operatorname{Var}(X).
Aqui a=2 e \operatorname{Var}(Y)=4. Então
4 = 2^2 \,\operatorname{Var}(X) \quad\Longrightarrow\quad 4 = 4\,\operatorname{Var}(X) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Var}(X) = 1.

Resposta

\mathbb{E}(X)=6
\operatorname{Var}(X)=1

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