Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna com reposição. Defina a v.a.
número de bolas verdes.
b) Encontre a fdp de
.
b) Encontre a fdp de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com 7 bolas brancas e 4 verdes. A gente vai tirar 5 bolas, uma de cada vez, e sempre colocar de volta (isso é o que significa “com reposição”). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas verdes que a gente vai tirar nessas 5 tentativas. Hoje, vamos encontrar a função de probabilidade de $ X $, que também chamamos de função massa de probabilidade (fdp).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar uma bola verde em uma única tentativa. Como tem 4 bolas verdes e 11 bolas no total (7 brancas + 4 verdes), a probabilidade de tirar uma verde é:
E a probabilidade de tirar uma branca é:
Passo 3
Como estamos tirando 5 bolas com reposição, cada tentativa é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma verde ou branca é sempre a mesma em cada uma das 5 tentativas.
Passo 4
A variável $ X $ representa o número de bolas verdes em 5 tentativas. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
- $ n = 5 $ (número de tentativas)
- $ p = \frac{4}{11} $ (probabilidade de sucesso, ou seja, tirar uma verde)
A fórmula da função massa de probabilidade da binomial é:
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Isso vale para $ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $.
Resposta
A função massa de probabilidade de $ X $ é: