Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna com reposição. Defina a v.a. X= número de bolas verdes.
b) Encontre a fdp de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com 7 bolas brancas e 4 verdes. A gente vai tirar 5 bolas, uma de cada vez, e sempre colocar de volta (isso é o que significa “com reposição”). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas verdes que a gente vai tirar nessas 5 tentativas. Hoje, vamos encontrar a função de probabilidade de $ X $, que também chamamos de função massa de probabilidade (fdp).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar uma bola verde em uma única tentativa. Como tem 4 bolas verdes e 11 bolas no total (7 brancas + 4 verdes), a probabilidade de tirar uma verde é:
P(verde) = 411
E a probabilidade de tirar uma branca é:
P(branca) = 711

Passo 3

Como estamos tirando 5 bolas com reposição, cada tentativa é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma verde ou branca é sempre a mesma em cada uma das 5 tentativas.

Passo 4

A variável $ X $ representa o número de bolas verdes em 5 tentativas. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
  • $ n = 5 $ (número de tentativas)
  • $ p = \frac{4}{11} $ (probabilidade de sucesso, ou seja, tirar uma verde)
A fórmula da função massa de probabilidade da binomial é:
X
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula, temos:
P(X = k) = binom5k (411)^k (711)^5 - k
Isso vale para $ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $.

Resposta

A função massa de probabilidade de $ X $ é:
X

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