Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a x=a para algum número a neq 0, então x=1.

Passo 1

O enunciado afirma que, em um conjunto que satisfaz os axiomas de adição e multiplicação (por exemplo, um corpo), vale
a x = a
com a neq 0. Queremos provar que x=1. Para isso usaremos:
– existência de inverso multiplicativo para aneq0,
– propriedade de multiplicar igualdade por um mesmo elemento,
– associatividade da multiplicação,
– existência de elemento neutro multiplicativo.

Passo 2

Como aneq0, pela propriedade do inverso multiplicativo existe um elemento a^-1 tal que
a^-1a = 1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade a x = a pela esquerda por a^-1$, valendo a propriedade de que se u=v então w,u = w,v. Obtém-se
a^-1(a x) = a^-1a

Passo 4

Pela associatividade da multiplicação temos
a^-1(a x) = (a^-1a),x
E do passo 2 sabemos que a^-1a=1, logo
(a^-1a),x = 1cdot x

Passo 5

Usando a propriedade do elemento neutro multiplicativo ( 1cdot x = x), concluímos
1cdot x = a^-1a,x = a^-1(a x) = a^-1a = 1 Longrightarrow x = 1

Resposta

x = 1.

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