Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
para algum número
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, em um conjunto que satisfaz os axiomas de adição e multiplicação (por exemplo, um corpo), vale
com
. Queremos provar que
. Para isso usaremos:
– existência de inverso multiplicativo para ,
– propriedade de multiplicar igualdade por um mesmo elemento,
– associatividade da multiplicação,
– existência de elemento neutro multiplicativo.
– existência de inverso multiplicativo para
– propriedade de multiplicar igualdade por um mesmo elemento,
– associatividade da multiplicação,
– existência de elemento neutro multiplicativo.
Passo 2
Como
, pela propriedade do inverso multiplicativo existe um elemento
tal que
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade
pela esquerda por
, valendo a propriedade de que se
então
. Obtém-se
Passo 4
Pela associatividade da multiplicação temos
E do passo 2 sabemos que
, logo
Passo 5
Usando a propriedade do elemento neutro multiplicativo (
), concluímos