Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
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Passo 1
O enunciado pede para provar que
O conteúdo que vamos usar são os axiomas de anel (associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, associatividade e comutatividade da multiplicação, distributividade) e as consequências já demonstradas em aula, em especial a definição de subtração
e o fato de que
para quaisquer
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Passo 2
Pela definição de subtração (existência de inverso aditivo, axioma A4), temos
Passo 3
Aplicando a distributividade (axioma D) ao produto de somas, obtemos
Passo 4
No termo
usamos a comutatividade da multiplicação (M2) para ver que
pela propriedade de multiplicação por inverso aditivo, e que
(M2). Logo
(pela existência de inverso aditivo).
Passo 5
Fica então
Mas de novo pela propriedade de multiplicação por inverso aditivo
então