Usando apenas as propriedades das operações de adição e multiplicação e as consequências que foram demonstradas a partir delas em sala de aula, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
x^2-y^2=(x-y)(x+y).

Passo 1

O enunciado pede para provar que
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
O conteúdo que vamos usar são os axiomas de anel (associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, associatividade e comutatividade da multiplicação, distributividade) e as consequências já demonstradas em aula, em especial a definição de subtração
x-y := x+(-y)
e o fato de que
(-a),b = -(a,b)
para quaisquer a,b.

Passo 2

Pela definição de subtração (existência de inverso aditivo, axioma A4), temos
(x-y)(x+y) ;=; l(x + (-y)r),(x+y)

Passo 3

Aplicando a distributividade (axioma D) ao produto de somas, obtemos
l(x + (-y)r),(x+y) = xcdot x ;+; xcdot y ;+; (-y)cdot x ;+; (-y)cdot y

Passo 4

No termo xcdot y + (-y)cdot x usamos a comutatividade da multiplicação (M2) para ver que
(-y)cdot x = -(ycdot x),
pela propriedade de multiplicação por inverso aditivo, e que ycdot x = xcdot y (M2). Logo
xcdot y + (-y)cdot x = xcdot y ;-; xcdot y = 0
(pela existência de inverso aditivo).

Passo 5

Fica então
(x-y)(x+y) = xcdot x ;+; 0 ;+; (-y)cdot y = x^2 + (-y)cdot y
Mas de novo pela propriedade de multiplicação por inverso aditivo
(-y)cdot y = -(ycdot y) = -,y^2,
então
x^2 + (-y)cdot y = x^2 - y^2

Resposta

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

Exercícios relacionados