Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado está em um corpo ordenado com as propriedades de ordem O1, O2 e O3. Diz que, dados
em tal corpo,
devemos provar que
Passo 2
Vamos considerar a diferença
e usar distributividade:
Passo 3
Das hipóteses
e
obtemos, pela transitividade do
e do
:
Passo 4
Pela propriedade O2 (produto de não-negativos é não-negativo, e produto de positivos é positivo):
- de
e segue - de
e segue
Passo 5
Pela propriedade O1 (soma preserva ordem) e transitividade obtemos
ou seja
Passo 6
Pela definição de ordem estrita num corpo ordenado (
sse
) concluímos