Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se 0 <= a<b e 0 <= r<s, então a r<b s.

Passo 1

O enunciado está em um corpo ordenado com as propriedades de ordem O1, O2 e O3. Diz que, dados a,b,r,s em tal corpo,
0 <= a < b e 0 <= r < s,
devemos provar que
a r < b s

Passo 2

Vamos considerar a diferença b s - a r e usar distributividade:
b s - a r = b(s - r) + r(b - a)

Passo 3

Das hipóteses 0 <= a < b e 0 <= r < s obtemos, pela transitividade do <= e do <:
b - a > 0, s - r > 0, r >= 0

Passo 4

Pela propriedade O2 (produto de não-negativos é não-negativo, e produto de positivos é positivo):
  • de b>0 e s-r>0 segue b,(s-r)>0;
  • de r>=0 e b-a>0 segue r,(b-a)>=0

Passo 5

Pela propriedade O1 (soma preserva ordem) e transitividade obtemos
b(s-r) + r(b-a) > 0,
ou seja
b s - a r > 0

Passo 6

Pela definição de ordem estrita num corpo ordenado ( x<y sse y - x>0 ) concluímos
a r < b s

Resposta

ar<bs.

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