Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se 0<a<1, então a^2<a. (Sugestão: Use o item f).)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado, se 0<a<1 então a^2<a. Para isso vamos usar:
  • A propriedade O3: “se x<y e z>0, então x z<y z”.
  • O axioma da identidade multiplicativa de corpos: “ 1cdot a=a para todo a”.

Passo 2

Como 0<a<1, temos simultaneamente a>0 e a<1.
Pela propriedade O3, tomando x=a, y=1 e z=a, obtemos
acdot a < 1cdot a
Pelo axioma da identidade multiplicativa vem que 1cdot a = a. Logo
a^2 = acdot a < a

Resposta

a^2<a.

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