Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
, então
. (Sugestão: Use o item j).)
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado que satisfaz
O
: se
e
então
,
O
: se
então
e, em particular, somar o mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade,
O
: se
e
então
,
vale que, a partir de
vale que, a partir de
segue
Vamos também usar o item j), que afirma que o produto de dois números estritamente positivos é estritamente positivo:
Passo 2
De
, adicionando
em ambos os lados e aplicando O
, obtemos
ou seja,
Passo 3
Agora, de
e
, pela O
(soma de positivo com não-negativo é estritamente positivo) segue
mas
e
. Logo
Passo 4
Como
e
, novamente por O
temos
Passo 5
Aplicando o item j) aos fatores
e
, concluímos
Pela distributividade no corpo,
logo
Passo 6
Somando
em ambos os lados de
e usando O
(adição preserva desigualdade), obtemos
Resposta
Portanto, demonstrou-se que, em qualquer corpo ordenado com O
, O
e O
, se
então
.