Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se 0 <= a<b, então a^2<b^2. (Sugestão: Use o item j).)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado que satisfaz
bul<=t O 1: se 0< x e 0< y então 0< x+y,
bul<=t O 2: se x<y então x+z<y+z e, em particular, somar o mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade,
bul<=t O 3: se 0< x e y<z então xy< xz,
vale que, a partir de
0 <= a < b,
segue
a^2 < b^2
Vamos também usar o item j), que afirma que o produto de dois números estritamente positivos é estritamente positivo:
(j) 0< u e 0< v Longrightarrow 0< u,v

Passo 2

De a< b, adicionando -a em ambos os lados e aplicando O 2, obtemos
0 < b - a,
ou seja,
b - a > 0

Passo 3

Agora, de b - a>0 e a>=0, pela O 1 (soma de positivo com não-negativo é estritamente positivo) segue
(b - a) + a > 0 + a,
mas (b-a)+a = b e 0 + a = a>=0. Logo
b > 0

Passo 4

Como b>0 e a>=0, novamente por O 1 temos
b + a > 0

Passo 5

Aplicando o item j) aos fatores b - a>0 e b + a>0, concluímos
0 < (b - a),(b + a)
Pela distributividade no corpo,
(b - a),(b + a) ;=; b^2 - a^2,
logo
b^2 - a^2 > 0

Passo 6

Somando a^2 em ambos os lados de b^2 - a^2 > 0 e usando O 2 (adição preserva desigualdade), obtemos
a^2 < b^2

Resposta

Portanto, demonstrou-se que, em qualquer corpo ordenado com O 1, O 2 e O 3, se 0<= a<b então ,a^2<b^2.

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