Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: em um corpo ordenado queremos provar que, se
e
, então
Usaremos as propriedades de ordem O1 (somar mesma quantidade aos dois lados) e O2 (multiplicar desigualdade por número não-negativo) e axiomas de corpo (inverso aditivo e distributividade).
Passo 2
Da hipótese
, somamos o inverso aditivo de
(isto é,
) aos dois lados, aplicando O1:
Como
e
, segue
ou seja,
.
Passo 3
Agora
e
. Aplicando O2 (multiplicação de uma desigualdade por um número não-negativo), com
, obtemos
Passo 4
Pelo axioma de inverso aditivo e distributividade temos
de modo que a desigualdade anterior vira
Passo 5
Somamos
a ambos os lados (O1):
Agrupando termos e usando
e comutatividade, isso simplifica para
o que é equivalente a