Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<b e c<0, então a c>b c.

Passo 1

Resumindo o enunciado: em um corpo ordenado queremos provar que, se ,a<b, e ,c<0,, então
ac>bc
Usaremos as propriedades de ordem O1 (somar mesma quantidade aos dois lados) e O2 (multiplicar desigualdade por número não-negativo) e axiomas de corpo (inverso aditivo e distributividade).

Passo 2

Da hipótese ,c<0,, somamos o inverso aditivo de c (isto é, -c) aos dois lados, aplicando O1:
c + (-c) < 0 + (-c)
Como c+(-c)=0 e 0+(-c)=-c, segue
0 < -c,
ou seja, -c>0.

Passo 3

Agora -c>0 e a<b. Aplicando O2 (multiplicação de uma desigualdade por um número não-negativo), com z=-c, obtemos
a(-c)<b(-c)

Passo 4

Pelo axioma de inverso aditivo e distributividade temos
a(-c)=-(ac) e b(-c)=-(bc),
de modo que a desigualdade anterior vira
-(ac)<-(bc)

Passo 5

Somamos ac+bc a ambos os lados (O1):
-(ac)+(ac+bc)<-(bc)+(ac+bc)
Agrupando termos e usando x+(-x)=0 e comutatividade, isso simplifica para
bc<ac,
o que é equivalente a
ac>bc

Resposta

,ac>bc,

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