Usando aritmética de 6 dígitos, determine os coeficientes do polinômio g(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a função f(x) tabelada abaixo:
\left[\begin{array}{llllll} x_{i} & 0.0 & 0.2 & 0.5 & 0.7 & 1.0 \\\ f\left(x_{i}\right) & 2.439 & 3.485 & 5.771 & 8.543 & 13.79 \end{array}\right]
Digite os coeficientes do polinômio encontrado:
\begin{aligned} & a_{0}=\square \\\ & a_{1}=\square \\\ & a_{2}=\square \end{aligned}
Dados da questão:
[0.0, 0.2, 0.5, 0.7, 1.0]
[2.439, 3.485, 5.771, 8.543, 13.79]

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede: determinar os coeficientes do polinómio quadrático que melhor aproxima, em sentido dos mínimos quadrados (erro quadrático), a função tabelada. Ou seja, encontrar \,a_{0},a_{1},a_{2}\, tais que o polinómio
g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
minimiza a soma dos quadrados dos resíduos em relação aos pontos fornecidos.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{cccccc} x_{i} & 0,0 & 0,2 & 0,5 & 0,7 & 1,0\\[4pt] f(x_{i}) & 2,439 & 3,485 & 5,771 & 8,543 & 13,79 \end{array}
Resumo do pedido: encontrar \,a_{0},a_{1},a_{2}\, numérica e explicitamente.]

Passo 2

Princípio dos mínimos quadrados e sistema normal (aula curta).
Queremos minimizar a função objetivo
S(a_{0},a_{1},a_{2})=\sum_{i=1}^{5}\big(f(x_{i})-(a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2})\big)^{2}.
Para minimizar, tomamos as derivadas parciais em relação a a_{0},a_{1},a_{2} e igualamos a zero. Isso fornece o sistema linear chamado sistema normal:
\begin{cases} \displaystyle \sum_{i} 1\cdot a_{0} + \sum_{i} x_{i}\cdot a_{1} + \sum_{i} x_{i}^{2}\cdot a_{2} = \sum_{i} f(x_{i}),\\[6pt] \displaystyle \sum_{i} x_{i}\cdot a_{0} + \sum_{i} x_{i}^{2}\cdot a_{1} + \sum_{i} x_{i}^{3}\cdot a_{2} = \sum_{i} x_{i}f(x_{i}),\\[6pt] \displaystyle \sum_{i} x_{i}^{2}\cdot a_{0} + \sum_{i} x_{i}^{3}\cdot a_{1} + \sum_{i} x_{i}^{4}\cdot a_{2} = \sum_{i} x_{i}^{2}f(x_{i}). \end{cases}
Em forma matricial:
\begin{pmatrix} \sum 1 & \sum x_{i} & \sum x_{i}^{2}\\[4pt] \sum x_{i} & \sum x_{i}^{2} & \sum x_{i}^{3}\\[4pt] \sum x_{i}^{2} & \sum x_{i}^{3} & \sum x_{i}^{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\\ a_{1}\\\ a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum f(x_{i})\\[4pt]\sum x_{i}f(x_{i})\\[4pt]\sum x_{i}^{2}f(x_{i})\end{pmatrix}.
Vou resolver este sistema pelo método de eliminação gaussiana, usando aritmética com 6 dígitos significativos: em cada resultado numérico relevante eu arredondo para 6 dígitos significativos (vou explicitar os arredondamentos).]

Passo 3

Cálculo das somas necessárias (uso direto dos dados da tabela).
Primeiro computamos as somas que aparecem no sistema normal. Trabalho com 6 dígitos significativos nos resultados intermediários.
Dados (novamente, retirados da tabela): \,x_{i}=\{0,0;\,0,2;\,0,5;\,0,7;\,1,0\} e \,f(x_{i})=\{2,439;\,3,485;\,5,771;\,8,543;\,13,79\}.
Cálculos:
\begin{aligned} & n=\sum 1 = 5,\\[4pt] & \sum x_{i} = 0,0+0,2+0,5+0,7+1,0 = 2,4,\\[4pt] & \sum x_{i}^{2} = 0^{2}+0,2^{2}+0,5^{2}+0,7^{2}+1^{2} = 0+0,04+0,25+0,49+1 = 1,78,\\[4pt] & \sum x_{i}^{3} = 0+0,008+0,125+0,343+1 = 1,476,\\[4pt] & \sum x_{i}^{4} = 0+0,0016+0,0625+0,2401+1 = 1,3042. \end{aligned}
Agora as somas envolvendo f(x_{i}):
\begin{aligned} & \sum f(x_{i}) = 2,439+3,485+5,771+8,543+13,79 = 34,028,\\[4pt] & \sum x_{i}f(x_{i}) = 0\cdot2,439 + 0,2\cdot3,485 + 0,5\cdot5,771 + 0,7\cdot8,543 + 1,0\cdot13,79\\[4pt] &\qquad = 0 + 0,697 + 2,8855 + 5,9801 + 13,79 = 23,3526\quad(\text{6 dígitos significativos: }23,3526),\\[4pt] & \sum x_{i}^{2}f(x_{i}) = 0\cdot2,439 + 0,04\cdot3,485 + 0,25\cdot5,771 + 0,49\cdot8,543 + 1\cdot13,79\\[4pt] &\qquad = 0 + 0,1394 + 1,44275 + 4,18607 + 13,79 = 19,55822. \end{aligned}í
Arredondando \sum x_{i}^{2}f(x_{i}) para 6 dígitos significativos obtemos \,19,5582 (o dígito seguinte é 2, portanto não arredonda para cima).
Resumo das somas (valores usados no sistema, todos com 6 dígitos significativos quando aplicável):
\begin{aligned} & \sum 1 = 5,\quad \sum x_{i}=2,4,\quad \sum x_{i}^{2}=1,78,\\[4pt] & \sum x_{i}^{3}=1,476,\quad \sum x_{i}^{4}=1,3042,\\[4pt] & \sum f(x_{i})=34,028,\quad \sum x_{i}f(x_{i})=23,3526,\quad \sum x_{i}^{2}f(x_{i})=19,5582. \end{aligned}]

Passo 4

Escrever o sistema normal com os valores numéricos (formato matricial e expandido).
O sistema fica:
\begin{pmatrix} 5 & 2,4 & 1,78\\[4pt] 2,4 & 1,78 & 1,476\\[4pt] 1,78 & 1,476 & 1,3042 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\\ a_{1}\\\ a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34,028\\[4pt]23,3526\\[4pt]19,5582\end{pmatrix}.
Expandindo em equações:
\begin{cases} 5a_{0}+2,4a_{1}+1,78a_{2}=34,028,\\[4pt] 2,4a_{0}+1,78a_{1}+1,476a_{2}=23,3526,\\[4pt] 1,78a_{0}+1,476a_{1}+1,3042a_{2}=19,5582. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por eliminação gaussiana, respeitando arredondamentos a 6 dígitos significativos em resultados intermediários.]

Passo 5

Eliminação gaussiana — etapa 1: zerar abaixo do pivô da primeira linha.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2,4 & 1,78 & 34,028\\[4pt] 2,4 & 1,78 & 1,476 & 23,3526\\[4pt] 1,78 & 1,476 & 1,3042 & 19,5582 \end{array}\right].
Pivot na primeira linha: 5.
Fator para zerar entrada (2,1):
f_{21}=\frac{2,4}{5}=0,48\quad(\text{uso }0,480000\text{ internamente, 6 dígitos}).í
Aplicando R_{2}\leftarrow R_{2}-f_{21}R_{1}:
\begin{aligned} & 1{,}78-0{,}48\cdot2{,}4 = 1{,}78-1{,}152 = 0{,}628\quad(\text{6 dígitos: }0{,}628000),\\[4pt] & 1{,}476-0{,}48\cdot1{,}78 = 1{,}476-0{,}8544 = 0{,}6216\quad(\text{6 dígitos: }0{,}621600),\\[4pt] & 23{,}3526-0{,}48\cdot34{,}028 = 23{,}3526-16{,}33344 = 7{,}01916\quad(\text{6 dígitos: }7{,}01916). \end{aligned}ííí
Fator para zerar entrada (3,1):
f_{31}=\frac{1,78}{5}=0,356\quad(\text{6 dígitos: }0{,}356000).í
Aplicando R_{3}\leftarrow R_{3}-f_{31}R_{1}:
\begin{aligned} & 1{,}476-0{,}356\cdot2{,}4 = 1{,}476-0{,}8544 = 0{,}6216\quad(\text{6 dígitos: }0{,}621600),\\[4pt] & 1{,}3042-0{,}356\cdot1{,}78 = 1{,}3042-0{,}63368 = 0{,}67052\quad(\text{6 dígitos: }0{,}670520),\\[4pt] & 19{,}5582-0{,}356\cdot34{,}028 = 19{,}5582-12{,}113968 = 7{,}444232\\ \rightarrow\\ \text{arred. 6 dígitos: }7{,}44423. \end{aligned}ííí
Matriz após a primeira etapa:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2,4 & 1,78 & 34,028\\[4pt] 0 & 0,628 & 0,6216 & 7,01916\\[4pt] 0 & 0,6216 & 0,67052 & 7,44423 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminação gaussiana — etapa 2: zerar abaixo do pivô da segunda linha.
Pivot na segunda linha: 0{,}628.
Fator para zerar entrada (3,2):
f_{32}=\frac{0{,}6216}{0{,}628}=0{,}989809\quad(\text{arredondei para 6 dígitos significativos: }0{,}989809).í
Aplicando R_{3}\leftarrow R_{3}-f_{32}R_{2}:
Cálculos (arredondando resultados para 6 dígitos significativos):
\begin{aligned} & \text{entrada }(3,3):\quad 0{,}67052 - 0{,}989809\cdot 0{,}6216 \\\ &\qquad = 0{,}67052 - 0{,}615266\ldots = 0{,}055254\quad(\text{6 dígitos: }0{,}055254),\\[6pt] & \text{lado direito }(3):\quad 7{,}44423 - 0{,}989809\cdot 7{,}01916 \\\ &\qquad = 7{,}44423 - 6{,}9476277\ldots = 0{,}4966023\quad(\text{6 dígitos: }0{,}496602). \end{aligned}íí
Agora a matriz triangular superior (após arredondamentos):
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2,4 & 1,78 & 34,028\\[4pt] 0 & 0,628 & 0,6216 & 7,01916\\[4pt] 0 & 0 & 0,055254 & 0,496602 \end{array}\right].]

Passo 7

Retrossubstituição para obter a_{2},a_{1},a_{0} (com 6 dígitos significativos).
Da terceira linha:
0{,}055254\,a_{2}=0{,}496602 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=\frac{0{,}496602}{0{,}055254}.
Fazendo a divisão (mantendo 6 dígitos significativos no resultado):
a_{2}=8{,}98762\quad(\text{6 dígitos significativos}).í
Da segunda linha:
0{,}628\,a_{1}+0{,}6216\,a_{2}=7{,}01916.
Substituindo a_{2}=8{,}98762 (usa-se 6 dígitos significativos nos multiplicadores):
0{,}628\,a_{1} = 7{,}01916 - 0{,}6216\cdot 8{,}98762.
Calculei 0{,}6216\cdot 8{,}98762 \approx 5{,}58670 (6 dígitos significativos). Então
0{,}628\,a_{1}=7{,}01916-5{,}58670=1{,}43246,
portanto
a_{1}=\frac{1{,}43246}{0{,}628}=2{,}28098\quad(\text{6 dígitos significativos}).í
Da primeira linha:
5a_{0}+2{,}4a_{1}+1{,}78a_{2}=34{,}028.
Substituindo a_{1}=2{,}28098 e a_{2}=8{,}98762:
\begin{aligned} & 2{,}4\cdot a_{1}=2{,}4\cdot 2{,}28098 = 5{,}474352,\\[4pt] & 1{,}78\cdot a_{2}=1{,}78\cdot 8{,}98762 = 15{,}997964\\ (\text{6 dígitos: }15{,}99796). \end{aligned}í
Somando esses termos:
2{,}4a_{1}+1{,}78a_{2}\approx 5{,}474352 + 15{,}997964 = 21{,}472316\\ (\text{6 dígitos: }21{,}4723).í
Então
5a_{0}=34{,}028 - 21{,}472316 = 12{,}555684,
e portanto
a_{0}=\frac{12{,}555684}{5}=2{,}5111368 \quad\Rightarrow\quad a_{0}=2{,}51114\\ (\text{6 dígitos significativos}).í]

Passo 8

Interpretação final rápida (motivo da confiança).
Encontrámos os coeficientes resolvendo o sistema normal obtido pelos mínimos quadrados, aplicando eliminação gaussiana e efetuando todos os arredondamentos a 6 dígitos significativos conforme pedido. Os coeficientes são consistentes e fornecem o polinómio aproximador de grau 2.

Resposta

a_{0}=2,51114
a_{1}=2,28098
a_{2}=8,98762

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