Usando aritmética de 6 dígitos, determine os coeficientes do polinômio g(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a função f(x) tabelada abaixo:
Dados da questão:
[0.0, 0.2, 0.5, 0.7, 1.0]
[2.439, 3.485, 5.771, 8.543, 13.79]
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede: determinar os coeficientes do polinómio quadrático que melhor aproxima, em sentido dos mínimos quadrados (erro quadrático), a função tabelada. Ou seja, encontrar \,a_{0},a_{1},a_{2}\, tais que o polinómio
g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
minimiza a soma dos quadrados dos resíduos em relação aos pontos fornecidos.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
Vou resolver este sistema pelo método de eliminação gaussiana, usando aritmética com 6 dígitos significativos: em cada resultado numérico relevante eu arredondo para 6 dígitos significativos (vou explicitar os arredondamentos).]
Passo 3
Cálculo das somas necessárias (uso direto dos dados da tabela).
Primeiro computamos as somas que aparecem no sistema normal. Trabalho com 6 dígitos significativos nos resultados intermediários.
Dados (novamente, retirados da tabela): \,x_{i}=\{0,0;\,0,2;\,0,5;\,0,7;\,1,0\} e \,f(x_{i})=\{2,439;\,3,485;\,5,771;\,8,543;\,13,79\}.
Encontrámos os coeficientes resolvendo o sistema normal obtido pelos mínimos quadrados, aplicando eliminação gaussiana e efetuando todos os arredondamentos a 6 dígitos significativos conforme pedido. Os coeficientes são consistentes e fornecem o polinómio aproximador de grau 2.