Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.8 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
Usando h=\mathbf{0 . 1}, encontre uma aproximação para y(\mathbf{1}) :
usando Taylor de ordem 2;

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação numérica de y(1) para o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y' = x y - y^{2} + 2{,}8,\\[4pt] y(0)=2, \end{array}\right.
usando passo h=0{,}1 e o método de Taylor de ordem 2.
Informações relevantes que temos:
  • função derivada f(x,y)=x y - y^{2} + 2{,}8;
  • condição inicial x_{0}=0, y_{0}=2;
  • passo h=0{,}1;
  • precisamos avançar até x=1, então o número de passos é N=\dfrac{1-0}{0{,}1}=10.]

Passo 2

Vou apresentar a fórmula do método de Taylor de ordem 2 (explicando o que aparece nela) e calcular as derivadas necessárias.
A ideia do método de Taylor de ordem 2 é usar a expansão de Taylor de y(x+h) ao redor de x até termos de ordem h^{2}:
y(x+h)=y(x)+h y'(x)+\frac{h^{2}}{2} y''(x)+\mathcal{O}(h^{3}).
Como y'(x)=f(x,y), precisamos de y''(x)=\dfrac{d}{dx}f(x,y(x)). Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}f(x,y)=f_{x}(x,y)+f_{y}(x,y)\,y'(x)=f_{x}(x,y)+f_{y}(x,y)\,f(x,y).
Logo o passo do método (discreto) fica:
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})+\frac{h^{2}}{2}\bigl(f_{x}(x_{n},y_{n})+f_{y}(x_{n},y_{n})\,f(x_{n},y_{n})\bigr).
Aqui:
  • f(x,y)=x y - y^{2} + 2{,}8;
  • f_{x}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y - y^{2}+2{,}8)=y (derivando x y em relação a x tratamos y como constante);
  • f_{y}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y - y^{2}+2{,}8)=x-2y.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo com h=0{,}1. Em cada passo computo:
\begin{aligned} &f_{n}=f(x_{n},y_{n}),\\\ &df_{n}:=f_{x}(x_{n},y_{n})+f_{y}(x_{n},y_{n})\,f_{n},\\\ &y_{n+1}=y_{n}+h f_{n}+\tfrac{h^{2}}{2} df_{n}. \end{aligned}

Passo 3

Dados iniciais: x_{0}=0, y_{0}=2.
\begin{aligned} &f_{0}=f(0,2)=0\cdot2-2^{2}+2{,}8=-4+2{,}8=-1{,}2,\\[4pt] &f_{x}(0,2)=y_{0}=2,\qquad f_{y}(0,2)=0-2\cdot2=-4,\\[4pt] &df_{0}=f_{x}+f_{y}f_{0}=2+(-4)\cdot(-1{,}2)=2+4{,}8=6{,}8,\\[6pt] &y_{1}=2+0{,}1\cdot(-1{,}2)+\frac{0{,}1^{2}}{2}\cdot6{,}8 =2-0{,}12+0{,}005\cdot6{,}8=2-0{,}12+0{,}034=1{,}914. \end{aligned}]

Passo 4

x_{1}=0{,}1, y_{1}=1{,}914.
\begin{aligned} &f_{1}=0{,}1\cdot1{,}914-(1{,}914)^{2}+2{,}8 =0{,}1914-3{,}663396+2{,}8=-0{,}671996,\\[4pt] &f_{x}=y_{1}=1{,}914,\quad f_{y}=0{,}1-2\cdot1{,}914= -3{,}728,\\[4pt] &df_{1}=1{,}914+(-3{,}728)\cdot(-0{,}671996)=1{,}914+2{,}505201\approx4{,}419201,\\[6pt] &y_{2}=1{,}914+0{,}1(-0{,}671996)+0{,}005\cdot4{,}419201 \approx1{,}914-0{,}0671996+0{,}0220960=1{,}868896. \end{aligned}]

Passo 5

x_{2}=0{,}2, y_{2}=1{,}868896.
\begin{aligned} &f_{2}=0{,}2\cdot1{,}868896-(1{,}868896)^{2}+2{,}8 \approx0{,}373779-3{,}492774+2{,}8=-0{,}318995,\\[4pt] &f_{x}=1{,}868896,\quad f_{y}=0{,}2-2\cdot1{,}868896=-3{,}537792,\\[4pt] &df_{2}=1{,}868896+(-3{,}537792)\cdot(-0{,}318995) \approx1{,}868896+1{,}128538=2{,}997434,\\[6pt] &y_{3}=1{,}868896+0{,}1(-0{,}318995)+0{,}005\cdot2{,}997434 \approx1{,}868896-0{,}0318995+0{,}0149872=1{,}851984. \end{aligned}]

Passo 6

x_{3}=0{,}3, y_{3}=1{,}851984.
\begin{aligned} &f_{3}=0{,}3\cdot1{,}851984-(1{,}851984)^{2}+2{,}8 \approx0{,}555595-3{,}429845+2{,}8=-0{,}074250,\\[4pt] &f_{x}=1{,}851984,\quad f_{y}=0{,}3-2\cdot1{,}851984=-3{,}403968,\\[4pt] &df_{3}=1{,}851984+(-3{,}403968)\cdot(-0{,}074250) \approx1{,}851984+0{,}252745=2{,}104729,\\[6pt] &y_{4}=1{,}851984+0{,}1(-0{,}074250)+0{,}005\cdot2{,}104729 \approx1{,}851984-0{,}007425+0{,}010524=1{,}855083. \end{aligned}]

Passo 7

x_{4}=0{,}4, y_{4}=1{,}855083.
\begin{aligned} &f_{4}=0{,}4\cdot1{,}855083-(1{,}855083)^{2}+2{,}8 \approx0{,}742033-3{,}441333+2{,}8=0{,}100700,\\[4pt] &f_{x}=1{,}855083,\quad f_{y}=0{,}4-2\cdot1{,}855083=-3{,}310166,\\[4pt] &df_{4}=1{,}855083+(-3{,}310166)\cdot0{,}100700 \approx1{,}855083-0{,}333334=1{,}521749,\\[6pt] &y_{5}=1{,}855083+0{,}1\cdot0{,}100700+0{,}005\cdot1{,}521749 \approx1{,}855083+0{,}010070+0{,}007609=1{,}872762. \end{aligned}]

Passo 8

x_{5}=0{,}5, y_{5}=1{,}872762.
\begin{aligned} &f_{5}=0{,}5\cdot1{,}872762-(1{,}872762)^{2}+2{,}8 \approx0{,}936381-3{,}507241+2{,}8=0{,}229140,\\[4pt] &f_{x}=1{,}872762,\quad f_{y}=0{,}5-2\cdot1{,}872762=-3{,}245524,\\[4pt] &df_{5}=1{,}872762+(-3{,}245524)\cdot0{,}229140 \approx1{,}872762-0{,}743677=1{,}129085,\\[6pt] &y_{6}=1{,}872762+0{,}1\cdot0{,}229140+0{,}005\cdot1{,}129085 \approx1{,}872762+0{,}022914+0{,}005645=1{,}901321. \end{aligned}]

Passo 9

x_{6}=0{,}6, y_{6}=1{,}901321.
\begin{aligned} &f_{6}=0{,}6\cdot1{,}901321-(1{,}901321)^{2}+2{,}8 \approx1{,}140793-3{,}615022+2{,}8=0{,}325771,\\[4pt] &f_{x}=1{,}901321,\quad f_{y}=0{,}6-2\cdot1{,}901321=-3{,}202642,\\[4pt] &df_{6}=1{,}901321+(-3{,}202642)\cdot0{,}325771 \approx1{,}901321-1{,}043326=0{,}857995,\\[6pt] &y_{7}=1{,}901321+0{,}1\cdot0{,}325771+0{,}005\cdot0{,}857995 \approx1{,}901321+0{,}032577+0{,}004290=1{,}938188. \end{aligned}]

Passo 10

x_{7}=0{,}7, y_{7}=1{,}938188.
\begin{aligned} &f_{7}=0{,}7\cdot1{,}938188-(1{,}938188)^{2}+2{,}8 \approx1{,}356732-3{,}756540+2{,}8=0{,}400192,\\[4pt] &f_{x}=1{,}938188,\quad f_{y}=0{,}7-2\cdot1{,}938188=-3{,}176376,\\[4pt] &df_{7}=1{,}938188+(-3{,}176376)\cdot0{,}400192 \approx1{,}938188-1{,}271158=0{,}667030,\\[6pt] &y_{8}=1{,}938188+0{,}1\cdot0{,}400192+0{,}005\cdot0{,}667030 \approx1{,}938188+0{,}040019+0{,}003335=1{,}981542. \end{aligned}]

Passo 11

x_{8}=0{,}8, y_{8}=1{,}981542.
\begin{aligned} &f_{8}=0{,}8\cdot1{,}981542-(1{,}981542)^{2}+2{,}8 \approx1{,}585234-3{,}926506+2{,}8=0{,}458727,\\[4pt] &f_{x}=1{,}981542,\quad f_{y}=0{,}8-2\cdot1{,}981542=-3{,}163084,\\[4pt] &df_{8}=1{,}981542+(-3{,}163084)\cdot0{,}458727 \approx1{,}981542-1{,}450992=0{,}530550,\\[6pt] &y_{9}=1{,}981542+0{,}1\cdot0{,}458727+0{,}005\cdot0{,}530550 \approx1{,}981542+0{,}045873+0{,}002653=2{,}030067. \end{aligned}]

Passo 12

x_{9}=0{,}9, y_{9}=2{,}030067.
\begin{aligned} &f_{9}=0{,}9\cdot2{,}030067-(2{,}030067)^{2}+2{,}8 \approx1{,}827060-4{,}121172+2{,}8=0{,}505888,\\[4pt] &f_{x}=2{,}030067,\quad f_{y}=0{,}9-2\cdot2{,}030067=-3{,}160134,\\[4pt] &df_{9}=2{,}030067+(-3{,}160134)\cdot0{,}505888 \approx2{,}030067-1{,}598674=0{,}431392,\\[6pt] &y_{10}=2{,}030067+0{,}1\cdot0{,}505888+0{,}005\cdot0{,}431392 \approx2{,}030067+0{,}050589+0{,}002157=2{,}082813. \end{aligned}]

Resposta

y(1)\approx 2{,}082813

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