Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.8 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
Usando h=\mathbf{0 . 1}, encontre uma aproximação para y(\mathbf{1}) :
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2{,}8,\\[4pt] y(0)=2, \end{array}\right.
e pede uma aproximação numérica para y(1) usando passo h=0{,}1 e um método de Runge–Kutta de ordem 4.
Dados relevantes:
h=0{,}1, intervalo de integração de x=0 até x=1 (portanto N=10 passos), função do lado direito f(x,y)=x y-y^{2}+2{,}8 e condição inicial y(0)=2.
O objetivo: aplicar RK4 iterativamente para obter y(1).]

Passo 2

Apresento o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) e explico cada termo de forma simples. Para um passo com tamanho h partindo de (x_n,y_n):
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\[4pt] k_2 &= f\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\bigr),\\[4pt] k_3 &= f\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_2\bigr),\\[4pt] k_4 &= f\bigl(x_n+h,\,y_n+h k_3\bigr), \end{aligned}
e a atualização é
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr).
O que cada coisa significa (explicação didática, sem pulo de etapas):
  • k_1 é a inclinação inicial no ponto (x_n,y_n). É a estimativa imediata da derivada.
  • k_2 avalia a inclinação no ponto intermediário em x_n+\tfrac{h}{2} usando a previsão y_n+\tfrac{h}{2}k_1.
  • k_3 é outra avaliação na mesma abscissa intermediária, mas usando a previsão com k_2.
  • k_4 é a inclinação no fim do passo, em x_n+h, usando a previsão y_n+h k_3.
  • A combinação k_1+2k_2+2k_3+k_4 é uma média ponderada das inclinações que dá ordem 4 de precisão local.
  • Aqui f(x,y)=x y-y^{2}+2{,}8. Sempre que eu escrever f(\cdot,\cdot) substitua por essa expressão.
Agora aplico RK4 passo a passo de x=0 até x=1 com h=0{,}1. Vou mostrar x_n, y_n, k_1,k_2,k_3,k_4 e y_{n+1} em cada passo, arredondando os valores intermediários para 9 casas decimais quando necessário para manter clareza (mas mantendo suficiente precisão para a resposta final).]

Passo 3

Passo de x_0=0 para x_1=0{,}1; y_0=2.
\begin{aligned} k_1 &= f(0,2)=0\cdot2-2^2+2{,}8=-1{,}2,\\[4pt] k_2 &= f(0{,}05,\,2+0{,}05\cdot(-1{,}2))=f(0{,}05,\,1{,}94)=0{,}05\cdot1{,}94-1{,}94^2+2{,}8=-0{,}8666,\\[4pt] k_3 &= f(0{,}05,\,2+0{,}05\cdot(-0{,}8666))=f(0{,}05,\,1{,}95667)\approx-0{,}9307245,\\[4pt] k_4 &= f(0{,}1,\,2+0{,}1\cdot(-0{,}9307245))=f(0{,}1,\,1{,}9069275)\approx-0{,}64567975. \end{aligned}
Atualização:
y_1=2+\frac{0{,}1}{6}\bigl(-1{,}2+2(-0{,}8666)+2(-0{,}9307245)+(-0{,}64567975)\bigr)\approx1{,}90932783.]

Passo 4

Passo de x_1=0{,}1 para x_2=0{,}2; y_1\approx1{,}90932783.
\begin{aligned} k_1 &\approx f(0{,}1,1{,}90932783)\approx-0{,}65459996,\\[4pt] k_2 &\approx f(0{,}15,\,1{,}87659783)\approx-0{,}440129679,\\[4pt] k_3 &\approx f(0{,}15,\,1{,}887321346)\approx-0{,}478883498,\\[4pt] k_4 &\approx f(0{,}2,\,1{,}861439482)\approx-0{,}292667439. \end{aligned}
y_2\approx1{,}90932783+\frac{0{,}1}{6}(-2{,}785293753)\approx1{,}862906267.]

Passo 5

Passo de x_2=0{,}2 para x_3=0{,}3; y_2\approx1{,}862906267.
\begin{aligned} k_1 &\approx-0{,}2978385066,\\\ k_2 &\approx-0{,}153148397,\\\ k_3 &\approx-0{,}178107788,\\\ k_4 &\approx-0{,}0508484676, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_3\approx1{,}8460529446.

Passo 6

Passo de x_3=0{,}3 para x_4=0{,}4; y_3\approx1{,}8460529446.
\begin{aligned} k_1 &\approx-0{,}0540958195,\\\ k_2 &\approx0{,}0472456539,\\\ k_3 &\approx0{,}03031233,\\\ k_4 &\approx0{,}1204991712, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_4\approx1{,}8497449337.

Passo 7

Passo de x_4=0{,}4 para x_5=0{,}5; y_4\approx1{,}8497449337.
\begin{aligned} k_1 &\approx0{,}118341618,\\\ k_2 &\approx0{,}191558,\\\ k_3 &\approx0{,}1796138593,\\\ k_4 &\approx0{,}24552625, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_5\approx1{,}8681817938.

Passo 8

Passo de x_5=0{,}5 para x_6=0{,}6; y_5\approx1{,}8681817938.
\begin{aligned} k_1 &\approx0{,}243987664,\\\ k_2 &\approx0{,}298376648,\\\ k_3 &\approx0{,}28963939,\\\ k_4 &\approx0{,}33911544, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_6\approx1{,}8975007137.

Passo 9

Passo de x_6=0{,}6 para x_7=0{,}7; y_6\approx1{,}8975007137.
\begin{aligned} k_1 &\approx0{,}3379941784,\\\ k_2 &\approx0{,}379432915,\\\ k_3 &\approx0{,}372825034,\\\ k_4 &\approx0{,}4109630268, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_7\approx1{,}9350585991.

Passo 10

Passo de x_7=0{,}7 para x_8=0{,}8; y_7\approx1{,}9350585991.
\begin{aligned} k_1 &\approx0{,}4100890404,\\\ k_2 &\approx0{,}4424342883,\\\ k_3 &\approx0{,}4372916751,\\\ k_4 &\approx0{,}4674372133, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_8\approx1{,}9790082354.

Passo 11

Passo de x_8=0{,}8 para x_9=0{,}9; y_8\approx1{,}9790082354.
\begin{aligned} k_1 &\approx0{,}4667329923,\\\ k_2 &\approx0{,}4926081123,\\\ k_3 &\approx0{,}4885250368,\\\ k_4 &\approx0{,}5128556652, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad y_9\approx2{,}0280391514.

Passo 12

Passo de x_9=0{,}9 para x_{10}=1{,}0; y_9\approx2{,}0280391514.
\begin{aligned} k_1 &\approx f(0{,}9,2{,}0280391514)\approx0{,}5122924337,\\[4pt] k_2 &\approx f(0{,}95,\,2{,}0536537731)\approx0{,}5334760994,\\[4pt] k_3 &\approx f(0{,}95,\,2{,}0547129563)\approx0{,}5301317835,\\[4pt] k_4 &\approx f(1{,}0,\,2{,}0810523297)\approx0{,}5502745371, \end{aligned}
y_{10}=y_9+\frac{0{,}1}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)\approx2{,}0280391514+0{,}0531630456\approx2{,}0812021970.]

Resposta

y(1)\approx2{,}0812021970

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