Considere o seguinte problema de valor inicial:
Usando
, encontre uma aproximação para
:
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
e pede uma aproximação numérica para
usando passo
e um método de Runge–Kutta de ordem 4.
Dados relevantes:
, intervalo de integração de
até
(portanto
passos), função do lado direito
e condição inicial
.
O objetivo: aplicar RK4 iterativamente para obter .]
Dados relevantes:
O objetivo: aplicar RK4 iterativamente para obter
Passo 2
Apresento o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) e explico cada termo de forma simples. Para um passo com tamanho
partindo de
:
e a atualização é
O que cada coisa significa (explicação didática, sem pulo de etapas):
-
é a inclinação inicial no ponto . É a estimativa imediata da derivada. -
avalia a inclinação no ponto intermediário em usando a previsão . -
é outra avaliação na mesma abscissa intermediária, mas usando a previsão com . -
é a inclinação no fim do passo, em , usando a previsão . - A combinação
é uma média ponderada das inclinações que dá ordem 4 de precisão local. - Aqui
. Sempre que eu escrever substitua por essa expressão.
Agora aplico RK4 passo a passo de
até
com
. Vou mostrar
,
,
e
em cada passo, arredondando os valores intermediários para 9 casas decimais quando necessário para manter clareza (mas mantendo suficiente precisão para a resposta final).]
Passo 3
Passo de
para
;
.
Atualização:
Passo 4
Passo de
para
;
.
Passo 5
Passo de
para
;
.
Passo 6
Passo de
para
;
.
Passo 7
Passo de
para
;
.
Passo 8
Passo de
para
;
.
Passo 9
Passo de
para
;
.
Passo 10
Passo de
para
;
.
Passo 11
Passo de
para
;
.
Passo 12
Passo de
para
;
.