Usando aritmética de 4 digitos, resolva o seguinte sistema linear:\left[ \begin{array}{rrr} -3 & -7 & -7 \\ 0 & -9 & -7 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]
]
x_{1}= \square
x_{2}= \square
x_{3}= \square
Para facilitar a transcrição, estes dados poderão ser úteis:
[[-3.0,-7.0,-7.0],[0.0,-9.0,-7.0],[0.0,0.0,-3.0]]
[[1.0,0.0,0.0],[3.0,1.0,0.0],[4.0,4.0,1.0]]
[2.0, 0.0, 1.0]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} -3 & -7 & -7\\[4pt] 0 & -9 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Pergunta-se os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.
As matrizes e vetor do lado direito foram fornecidos no enunciado (usei os dados textuais fornecidos). Antes de resolver o sistema, vou calcular o vetor do lado direito resultante da multiplicação da matriz pela coluna para ter as constantes do sistema.]

Passo 2

Calculando o produto do lado direito:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 0\cdot 1\\[6pt] 3\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1\\[6pt] 4\cdot 2 + 4\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]6\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Portanto o sistema a resolver é
\begin{cases} -3x_{1}-7x_{2}-7x_{3}=2,\\[4pt] -9x_{2}-7x_{3}=6,\\[4pt] -3x_{3}=9. \end{cases}]

Passo 3

Explicação da regra de “aritmética de 4 dígitos” que vamos aplicar: significa que, em cada operação que produz um resultado numérico, devemos arredondar esse resultado para 4 algarismos significativos antes de usá‑lo nas próximas operações. Regra de arredondamento usual: olhar o quinto algarismo significativo; se for ≥5, aumentar o quarto algarismo em 1; se for ≤4, manter. Exemplos rápidos: 1{,}6666 1{,}667; 11{,}669 11{,}67.
Começamos pela última equação (é triangular superior, então faz‑se substituição regressiva):
-3x_{3}=9 \implies x_{3}=\frac{9}{-3}=-3.
Representando com 4 algarismos significativos escrevemos \,x_{3}=-3{,}000 (os zeros decimais mostram os 4 algarismos significativos).

Passo 4

Agora a segunda equação:
-9x_{2}-7x_{3}=6.
Substituímos x_{3}=-3{,}000. Primeiro calculamos -7x_{3}. Usando aritmética de 4 dígitos:
-7\cdot(-3{,}000)=21{,}00
(este resultado já tem 4 algarismos significativos: 2,1,0,0). Agora a equação fica
-9x_{2}+21{,}00=6.
Isolando x_{2}:
-9x_{2}=6-21{,}00=-15{,}00.
Dividindo e aplicando arredondamento a 4 algarismos significativos no quociente:
x_{2}=\frac{-15{,}00}{-9}=\frac{15{,}00}{9}=1{,}666\ldots \longrightarrow \text{arredondando a 4 dígitos: }x_{2}=1{,}667.í
(Anotei -9 como exato; o quociente foi arredondado para 4 algarismos significativos.)

Passo 5

Agora a primeira equação:
-3x_{1}-7x_{2}-7x_{3}=2.
Substituímos x_{2}=1{,}667 e x_{3}=-3{,}000. Calculamos cada produto e arredondamos para 4 algarismos significativos quando necessário.
  1. -7x_{2}=-7\cdot 1{,}667=-11{,}669. Arredondando a 4 algarismos significativos:
-7x_{2}=-11{,}67.
  1. -7x_{3}=-7\cdot(-3{,}000)=21{,}00 (já com 4 algarismos significativos).
Somamos os termos conhecidos:
-11{,}67 + 21{,}00 = 9{,}33.
A primeira equação fica
-3x_{1} + 9{,}33 = 2 \implies -3x_{1} = 2 - 9{,}33 = -7{,}33.
Dividindo por -3 e arredondando o quociente a 4 algarismos significativos:
x_{1} = \frac{-7{,}33}{-3} = \frac{7{,}33}{3} = 2{,}443333\ldots \longrightarrow x_{1}=2{,}443.

Passo 6

Resumo dos valores obtidos (cada valor foi arredondado segundo a aritmética de 4 dígitos usada nas etapas):
x_{1}=2{,}443,\qquad x_{2}=1{,}667,\qquad x_{3}=-3{,}000.

Resposta

x_{1}=2{,}443
x_{2}=1{,}667
x_{3}=-3{,}000

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