Usando a eliminação gaussiana com pivotamento parcial e aritmética de 6 digitos, calcule a forma escalonada B da matriz: A=\left[\begin{array}{lll}0.6532 & 3.454 & 3.627 \\\\ 0.705 & 3.94 & 4.747 \\\\ 3.803 & 3.21 & 0.9315\end{array}\right]
b_{11}= \square
b_{22}= \square
b_{33}= \square
Para facilitar a transcrição, estes dados poderão ser úteis:
[[0.6532, 3.454, 3.627], [0.705, 3.94, 4.747], [3.803, 3.21, 0.9315]]

Passo 1

O enunciado pede: usar eliminação gaussiana com pivotamento parcial e aritmética de 6 dígitos para calcular a forma escalonada B da matriz
A=\begin{pmatrix}0.6532 & 3.454 & 3.627 \\[4pt] 0.705 & 3.94 & 4.747 \\[4pt] 3.803 & 3.21 & 0.9315\end{pmatrix}.
Preciso fornecer os elementos diagonais da forma escalonada: b_{11}, b_{22} e b_{33}.
Dados utilizados (pegaram-se os números do enunciado):
\begin{pmatrix}0{,}6532 & 3{,}454 & 3{,}627 \\[4pt] 0{,}705 & 3{,}94 & 4{,}747 \\[4pt] 3{,}803 & 3{,}21 & 0{,}9315\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do procedimento e regras de arredondamento (essencial para a prova):
  • Em eliminação com pivotamento parcial, em cada coluna escolhe-se como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas restantes e, se necessário, troca-se linhas.
  • Para zerar abaixo do pivô usa-se o multiplicador \displaystyle m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}} e faz-se R_i \leftarrow R_i - m_{ik} R_k.
  • A aritmética pedida é de 6 dígitos significativos: cada multiplicador e cada resultado intermediário será arredondado para 6 dígitos significativos antes de ser usado na operação seguinte. Vou explicitar cada cálculo e arredondamento.
Vamos começar pela coluna 1.

Passo 3

Pivotamento na coluna 1: comparar |0{,}6532|,\;|0{,}705|,\;|3{,}803|. O maior é |3{,}803|, que está na linha 3. Então trocamos a linha 1 com a linha 3. Matriz após a troca:
\begin{pmatrix} 3{,}803 & 3{,}21 & 0{,}9315\\[4pt] 0{,}705 & 3{,}94 & 4{,}747\\[4pt] 0{,}6532 & 3{,}454 & 3{,}627 \end{pmatrix}.
O pivô \,a_{11}=3{,}803 (vou escrever com 6 dígitos significativos quando necessário como 3{,}80300).
Calcular os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{0{,}705}{3{,}803},\qquad m_{31}=\frac{0{,}6532}{3{,}803}.
Fazendo as divisões e arredondando cada multiplicador para 6 dígitos significativos:
m_{21}=0{,}185380\quad(\text{6 dígitos}),\qquad m_{31}=0{,}171759\quad(\text{6 dígitos}).íí]

Passo 4

Aplicar as eliminações com esses multiplicadores. Primeiro linha 2:
  • Calcula-se m_{21}\cdot R_1\). Usando aritmética com 6 dígitos: \[m_{21}\cdot 3{,}803 \approx 0{,}705000\quad(\text{6 dígitos}),
m_{21}\cdot 3{,}21 \approx 0{,}595070\quad(\text{6 dígitos}),í
m_{21}\cdot 0{,}9315 \approx 0{,}172681\quad(\text{6 dígitos}).í
  • Subtrai-se de R_2 (cada operação arredondada a 6 dígitos): R_2^{\text{novo}}: \begin{cases} 0{,}705 - 0{,}705000 = 0{,}000000\\ (\text{arredondamos para }0),\\[4pt] 3{,}94 - 0{,}595070 = 3{,}34493\\ (\text{6 dígitos}),\\[4pt] 4{,}747 - 0{,}172681 = 4{,}57432\\ (\text{6 dígitos}). \end{cases}íí
Portanto (R_2^{novo}=(0,;3{,}34493,;4{,}57432)].
Agora linha 3 com m_{31}=0{,}171759\): - Calcula-se \(m_{31}\cdot R_1\): \[m_{31}\cdot 3{,}803 \approx 0{,}653199\quad(\text{6 dígitos}),
m_{31}\cdot 3{,}21 \approx 0{,}551346\quad(\text{6 dígitos}),í
m_{31}\cdot 0{,}9315 \approx 0{,}159994\quad(\text{6 dígitos}).í
  • Subtraindo de R_3: R_3^{\text{novo}}: \begin{cases} 0{,}6532 - 0{,}653199 \approx 0{,}000001\\ (\text{arredondamos para }0),\\[4pt] 3{,}454 - 0{,}551346 = 2{,}90265\\ (\text{6 dígitos}),\\[4pt] 3{,}627 - 0{,}159994 = 3{,}46701\\ (\text{6 dígitos}). \end{cases}íí
Portanto (R_3^{novo}=(0,;2{,}90265,;3{,}46701)].
Após a primeira etapa de eliminação, a matriz é
\begin{pmatrix} 3{,}803 & 3{,}21 & 0{,}9315\\[4pt] 0 & 3{,}34493 & 4{,}57432\\[4pt] 0 & 2{,}90265 & 3{,}46701 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora pivotamento na coluna 2 (entre as linhas 2 e 3): comparar |3{,}34493| e |2{,}90265|. O maior é |3{,}34493|, que já está em R_2. Assim o pivô da segunda etapa é
a_{22}=3{,}34493.
Esse será o valor de b_{22} na forma escalonada.

Passo 6

Calcular o multiplicador para zerar a entrada a_{32}:
m_{32}=\frac{2{,}90265}{3{,}34493}.
Fazendo a divisão e arredondando para 6 dígitos significativos:
m_{32}=0{,}867775\quad(\text{6 dígitos}).í

Passo 7

Eliminar a terceira linha usando m_{32}\): - Produto \(m_{32}\cdot R_2\) (componentes, arredondados a 6 dígitos): \[m_{32}\cdot 3{,}34493 \approx 2{,}90265\\ (\text{6 dígitos}),
m_{32}\cdot 4{,}57432 \approx 3{,}96948\\ (\text{6 dígitos}).í
  • Subtrair de R_3: R_3^{\text{novo}}: \begin{cases} 2{,}90265 - 2{,}90265 = 0,\\[4pt] 3{,}46701 - 3{,}96948 = -0{,}50247\\ (\text{arredondando para 6 dígitos }-0{,}502470). \end{cases}í
Assim a terceira linha torna-se ((0,;0,;-0{,}502470)].
A matriz triangular superior final (forma escalonada B) é, portanto,
B=\begin{pmatrix} 3{,}80300 & 3{,}21000 & 0{,}93150\\[4pt] 0 & 3{,}34493 & 4{,}57432\\[4pt] 0 & 0 & -0{,}502470 \end{pmatrix},
onde os valores são apresentados com 6 dígitos significativos conforme a aritmética exigida.]

Resposta

b_{11}=3{,}80300
b_{22}=3{,}34493
b_{33}=-0{,}502470

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