Usando aritmética de 4 digitos, resolva o seguinte sistema linear: \left[\begin{array}{rrr}7 & 0 & 0 \\\\ 7 & 5 & 0 \\\\ 0 & -3 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 8 & 2 \\\\ 0 & 1 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-8 \\\\ -4 \\\\ 2\end{array}\right]
x_{1}= \square
x_{2}= \square
x_{3}= \square
Para facilitar a transcrição, estes dados poderão ser úteis:
[[1.0,8.0,2.0],[0.0,1.0,7.0],[0.0,0.0,1.0]]
[[7.0,0.0,0.0],[7.0,5.0,0.0],[0.0,-3.0,-5.0]]
[-8.0, -4.0, 2.0]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\left[\begin{array}{rrr}7 & 0 & 0 \\[4pt] 7 & 5 & 0 \\[4pt] 0 & -3 & -5\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 8 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 7 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x_{1} \\[4pt] x_{2} \\[4pt] x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-8 \\[4pt] -4 \\[4pt] 2\end{array}\right]
e retornar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3}\,.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\left[\begin{array}{lll}1.0 & 8.0 & 2.0 \\[4pt] 0.0 & 1.0 & 7.0 \\[4pt] 0.0 & 0.0 & 1.0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{rrr}7.0 & 0.0 & 0.0 \\[4pt] 7.0 & 5.0 & 0.0 \\[4pt] 0.0 & -3.0 & -5.0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{r}-8.0 \\[4pt] -4.0 \\[4pt] 2.0\end{array}\right].
Observação importante sobre a aritmética pedida: o enunciado solicita “aritmética de 4 dígitos”. Abaixo, nas contas, vou usar aritmética com 4 algarismos significativos (arredondamento normal) em cada operação numérica, e explico como aplico esse arredondamento no passo em que for relevante.]

Passo 2

Primeiro simplificamos multiplicando as duas matrizes à esquerda, para obter a matriz do sistema efetivo. Chamo a primeira matriz de A e a segunda de B. Vou calcular C=A\,B.
Cálculo linha a linha (uso os números fornecidos diretamente):
Linha 1 de A é [7,0,0], então
\text{linha 1 de }C = 7\cdot[1,8,2] = [7,\;56,\;14].
Linha 2 de A é [7,5,0], então
\text{linha 2 de }C = 7\cdot[1,8,2] + 5\cdot[0,1,7] = [7,56,14] + [0,5,35] = [7,\;61,\;49].
Linha 3 de A é [0,-3,-5], então
\text{linha 3 de }C = -3\cdot[0,1,7] + -5\cdot[0,0,1] = [0,-3,-21] + [0,0,-5] = [0,\;-3,\;-26].
Portanto
C = A\,B = \left[\begin{array}{rrr}7 & 56 & 14 \\[4pt] 7 & 61 & 49 \\[4pt] 0 & -3 & -26\end{array}\right].
(Isto foi obtido multiplicando as linhas de A pelas colunas de B como mostrado.)]

Passo 3

Escrevemos o sistema C\mathbf{x}=\mathbf{b}\) explicitamente: \[\begin{cases} 7x_{1} + 56x_{2} + 14x_{3} = -8, \\[6pt] 7x_{1} + 61x_{2} + 49x_{3} = -4, \\[6pt] \;0x_{1} - 3x_{2} - 26x_{3} = 2. \end{cases}
Vantagem: a terceira equação não envolve x_{1}\], então podemos primeiro relacionar \(x_{2} e x_{3}, e depois obter x_{1}. Isso evita eliminação complicada.]

Passo 4

Vou resolver passo a passo. Primeiro uso a terceira equação para expressar x_{2} em função de x_{3}.
Terceira equação:
-3x_{2} - 26x_{3} = 2.
Isolando x_{2}:
-3x_{2} = 2 + 26x_{3} \quad\Rightarrow\quad x_{2} = \frac{-2 - 26x_{3}}{3}.
Aqui é apenas manipulação simbólica — nenhum arredondamento ainda.

Passo 5

Agora uso a diferença entre a segunda e a primeira equação para eliminar x_{1} (isso é uma estratégia simples: subtrair equações com coeficiente igual de x_1).
Segunda menos primeira:
(7x_1 + 61x_2 +49x_3) - (7x_1 +56x_2 +14x_3) = -4 - (-8).
Simplificando:
5x_{2} + 35x_{3} = 4.
Agora substituo x_{2} = \dfrac{-2 -26x_{3}}{3} nessa equação. Faço a substituição simbolicamente primeiro:
5\cdot\frac{-2 -26x_{3}}{3} + 35x_{3} = 4.
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar denominador:
-10 -130x_{3} + 105x_{3} = 12.
Simplificando os termos em x_{3}:
-10 -25x_{3} = 12.
Isolando x_{3}:
-25x_{3} = 22 \quad\Rightarrow\quad x_{3} = -\frac{22}{25}.
Agora fazemos os cálculos numéricos com aritmética de 4 dígitos (arredondamento para 4 algarismos significativos) conforme pedido.
Cálculo numérico de x_{3}:
x_{3} = -\frac{22}{25} = -0{,}88.
Para representar com 4 algarismos significativos escrevemos \,x_{3} = -0{,}8800. (Aqui o valor exato é -0,88; escrevo com 4 dígitos significativos como -0{,}8800.)

Passo 6

Agora calculo x_{2} numericamente usando a expressão
x_{2} = \frac{-2 - 26x_{3}}{3}.
Substituo x_{3} = -0{,}8800 e faço cada operação arredondando para 4 algarismos significativos:
  1. Produto -26 \cdot x_{3}:
-26 \cdot (-0{,}8800) = 22{,}8800.
Arredondando para 4 algarismos significativos: 22{,}8800 \to 22{,}88.
  1. Soma no numerador:
-2 + 22{,}88 = 20{,}88.
Esse valor já tem 4 algarismos significativos: 20{,}88.
  1. Divisão por 3:
x_{2} = \frac{20{,}88}{3} = 6{,}96\overline{0}.
Exatamente 6{,}96. Escrevendo com 4 algarismos significativos: \,x_{2}=6{,}960.
(Resumo deste passo: produtos e somas foram arredondados a 4 algarismos significativos em cada operação conforme indicado.)

Passo 7

Por fim, calculo x_{1} a partir da primeira equação
7x_{1} + 56x_{2} + 14x_{3} = -8,
ou
7x_{1} = -8 - 56x_{2} - 14x_{3}.
Substituo os valores arredondados \,x_{2}=6{,}960 e \,x_{3}=-0{,}8800 e faço as operações com arredondamento a 4 algarismos significativos a cada passo.
  1. Produto 56\cdot x_{2}:
56 \cdot 6{,}960 = 389{,}76.
Arredondando para 4 algarismos significativos: 389{,}76 \to 389{,}8.
  1. Produto 14\cdot x_{3}:
14 \cdot (-0{,}8800) = -12{,}320.
Arredondando para 4 algarismos significativos: -12{,}320 \to -12{,}32.
  1. Soma dos dois termos -56x_{2} -14x_{3}:
    Primeiro calculei -56x_{2} = -389{,}8 e -14x_{3} = -(-12{,}32) = +12{,}32.
    Somando:
-389{,}8 + 12{,}32 = -377{,}48.
Arredondando para 4 algarismos significativos: -377{,}48 \to -377{,}5.
  1. Agora 7x_{1} = -8 + (-377{,}5) = -385{,}5.
    Esse já tem 4 algarismos significativos.
  2. Finalmente x_{1} = \dfrac{-385{,}5}{7} = -55{,}071428\ldots
    Arredondando para 4 algarismos significativos obtemos \,x_{1} = -55{,}07.
Nota sobre arredondamentos: cada produto/soma foi arredondado a 4 algarismos significativos antes de ser usado na operação seguinte, conforme “aritmética de 4 dígitos” pedida.

Resposta

x_{1} = -55{,}07
x_{2} = 6{,}960
x_{3} = -0{,}8800

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