Considere o conjunto P=\{a \in \mathbb{Z}: a>0\}. Demonstre que:
Para todo a \in \mathbb{Z}, vale uma, e somente uma, das seguintes possibilidades:
a=0, \quad a \in P \text { ou }-a \in P .

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto P=\{a\in\mathbb{Z}:a>0\} (os inteiros positivos) e pede para demonstrar que, para todo a\in\mathbb{Z}, ocorre uma e apenas uma das três alternativas:
a=0,\qquad a\in P\qquad\text{ou}\qquad -a\in P.
Vou provar duas coisas separadas e necessárias para concluir “uma e somente uma”: (i) que pelo menos uma das alternativas vale (exaustividade) e (ii) que não podem valer duas (nem três) alternativas ao mesmo tempo (unicidade).

Passo 2

Primeiro clarifico algumas notações e propriedades básicas que vou usar:
  • a\in P significa \,a>0.
  • -a\in P significa \,-a>0, isto é, a<0.
  • A desigualdade muda de sinal ao multiplicar por -1: se x\le y então -x\ge -y; em particular, -x\le 0 equivale a x\ge 0.
    Essas são propriedades elementares da ordem nos inteiros que servem de ferramenta no argumento.

Passo 3

Vou mostrar que nenhuma pares de alternativas pode ocorrer simultaneamente.
(a) Não é possível ter simultaneamente a=0 e a\in P.
Isto porque a=0 daria 0>0 se a\in P, o que é falso. Logo a=0 e a\in P são mutuamente exclusivas.
(b) Não é possível ter simultaneamente a=0 e -a\in P.
Analogamente, a=0 e -a\in P implicariam 0>0, contradição. Logo são mutuamente exclusivas.
(c) Não é possível ter simultaneamente a\in P e -a\in P.
Se a\in P então a>0. Se -a\in P então -a>0. Somando essas desigualdades obtemos
a+(-a)>0+0 \quad\Rightarrow\quad 0>0,
o que é impossível. Portanto a\in P e -a\in P não podem ocorrer juntos.
Das três verificações acima segue que não podem ocorrer duas (ou mais) das alternativas ao mesmo tempo: as alternativas são mutuamente exclusivas.

Passo 4

Agora mostro que para qualquer a\in\mathbb{Z} alguma das alternativas vale. Tome um a\in\mathbb{Z}.
Se a\in P estamos feitos. Se a=0 também estamos feitos. Suponha, então, que a\neq 0 e que a primeira alternativa falha ( a\notin P, isto é, a\le 0 no sentido de que não é verdade que a>0). Considere também a hipótese auxiliar de que -a\notin P (isto é, não é verdade que -a>0, ou seja, -a\le 0). A partir de -a\le 0 multiplicando por -1 (e lembrando que a desigualdade se inverte) obtemos a\ge 0. Assim, as duas desigualdades juntas dão
a\le 0\quad\text{e}\quad a\ge 0,
portanto a=0. Mas isso contradiz a hipótese a\neq 0. Logo não é possível que simultaneamente a\notin P e -a\notin P quando a\neq 0. Assim, se a\neq 0 então pelo menos uma das afirmações a\in P ou -a\in P é verdadeira.
Resumindo: para qualquer a\in\mathbb{Z} chegamos a uma das três alternativas a=0, a\in P ou -a\in P. Portanto as alternativas são exaustivas.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores temos que, para todo a\in\mathbb{Z}, exatamente uma das três alternativas é verdadeira: as alternativas cobrem todos os casos (Passo 4) e são mutuamente exclusivas (Passo 3). Isso é precisamente a afirmação pedida.

Resposta

Para todo a\in\mathbb{Z}, vale uma e somente uma das seguintes possibilidades:
a=0,\qquad a\in P\qquad\text{ou}\qquad -a\in P.

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