Considere o conjunto
. Demonstre que:
Para todo
, vale uma, e somente uma, das seguintes possibilidades:
Para todo
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
(os inteiros positivos) e pede para demonstrar que, para todo
, ocorre uma e apenas uma das três alternativas:
Vou provar duas coisas separadas e necessárias para concluir “uma e somente uma”: (i) que pelo menos uma das alternativas vale (exaustividade) e (ii) que não podem valer duas (nem três) alternativas ao mesmo tempo (unicidade).
Passo 2
Primeiro clarifico algumas notações e propriedades básicas que vou usar:
-
significa . -
significa , isto é, . - A desigualdade muda de sinal ao multiplicar por
: se então ; em particular, equivale a .
Essas são propriedades elementares da ordem nos inteiros que servem de ferramenta no argumento.
Passo 3
Vou mostrar que nenhuma pares de alternativas pode ocorrer simultaneamente.
(a) Não é possível ter simultaneamente
e
.
Isto porque daria
se
, o que é falso. Logo
e
são mutuamente exclusivas.
Isto porque
(b) Não é possível ter simultaneamente
e
.
Analogamente, e
implicariam
, contradição. Logo são mutuamente exclusivas.
Analogamente,
(c) Não é possível ter simultaneamente
e
.
Se então
. Se
então
. Somando essas desigualdades obtemos
Se
o que é impossível. Portanto
e
não podem ocorrer juntos.
Das três verificações acima segue que não podem ocorrer duas (ou mais) das alternativas ao mesmo tempo: as alternativas são mutuamente exclusivas.
Passo 4
Agora mostro que para qualquer
alguma das alternativas vale. Tome um
.
Se
estamos feitos. Se
também estamos feitos. Suponha, então, que
e que a primeira alternativa falha (
, isto é,
no sentido de que não é verdade que
). Considere também a hipótese auxiliar de que
(isto é, não é verdade que
, ou seja,
). A partir de
multiplicando por
(e lembrando que a desigualdade se inverte) obtemos
. Assim, as duas desigualdades juntas dão
portanto
. Mas isso contradiz a hipótese
. Logo não é possível que simultaneamente
e
quando
. Assim, se
então pelo menos uma das afirmações
ou
é verdadeira.
Resumindo: para qualquer
chegamos a uma das três alternativas
,
ou
. Portanto as alternativas são exaustivas.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores temos que, para todo
, exatamente uma das três alternativas é verdadeira: as alternativas cobrem todos os casos (Passo 4) e são mutuamente exclusivas (Passo 3). Isso é precisamente a afirmação pedida.
Resposta
Para todo
, vale uma e somente uma das seguintes possibilidades: