Usando uma calculadora, reescreva os números racionais abaixo na forma decimal.
\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o número racional \dfrac{4}{3} na forma decimal.
Informações dadas:
  • Temos a fração \dfrac{4}{3}.
  • Queremos a sua representação decimal (usando, se quiser, uma calculadora).

Passo 2

Vamos começar pensando na divisão que define a fração: dividir o numerador pelo denominador, isto é, calcular \;4\div 3\;. Faço a divisão inteira primeiro:
3\\ \text{cabe em}\\\ 4\\ \text{uma vez, porque}\\\ 3\cdot 1=3,
portanto o inteiro da divisão é 1 e sobra resto
4-3\cdot 1 = 1.
Para continuar em decimal, acrescenta-se uma vírgula e um zero ao resto: agora dividimos 10 por 3.

Passo 3

Dividindo os decimais passo a passo (método da divisão longa):
10\div3 = 3 \quad\text{(porque }3\cdot3=9\text{)}\quad\text{resto }10-9=1.
Observa que o resto voltou a ser 1. Ao acrescentar outro zero e dividir novamente:
10\div3 = 3\quad\text{resto }1,
e isso se repete infinitamente. Logo, a parte decimal é composta por infinitos 3s: 1,333\ldots.

Passo 4

Explicação alternativa (rápida) para ver que \;1,333\ldots=\dfrac{4}{3}. Seja
x=1,333\ldots=1,\overline{3}.
Multiplicando por 10:
10x=13,333\ldots=13,\overline{3}.
Subtraindo as duas equações:
10x-x=13,\overline{3}-1,\overline{3}\quad\Rightarrow\quad 9x=12.
Logo
x=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3},
confirmando que a representação decimal correta é 1,\overline{3}.

Passo 5

Se usar uma calculadora ela mostrará uma aproximação como 1,333333333 (com um número finito de 3s), mas a representação exata é a repetição infinita de 3s após a vírgula, indicada por 1,\overline{3}.

Resposta

1,\overline{3}

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