Usando uma calculadora, reescreva os números racionais abaixo na forma decimal.
\frac{2}{9}

Passo 1

O enunciado pede: “Usando uma calculadora, reescreva o número racional \dfrac{2}{9} na forma decimal.”
Informações dadas:
  • A fração que devemos transformar é \dfrac{2}{9}.

Passo 2

O procedimento direto com a calculadora é dividir 2 por 9. No visor de uma calculadora comum aparece algo como 0,222222 (com um certo número finito de 2s, dependendo da precisão da calculadora). Isso indica que a parte decimal é formada por repetições do dígito 2.
Para entender por que há repetição, faça a divisão exata por restos (método que a calculadora faz internamente):
  • Como 2<9, o inteiro antes da vírgula é 0.
  • Resto inicial: 2.
  • Multiplica-se o resto por 10: 20.
  • 20\div 9 dá quociente 2 e resto 2.
    Como o resto voltou a ser 2, o processo se repete infinitamente, produzindo sempre o dígito 2 depois da vírgula. Logo a expansão decimal é repetitiva com período 1.
    Outra forma de ver isso é por um argumento algébrico com infinitas casas repetidas. Seja
x = 0,222\ldots = 0,\overline{2}.
Multiplicando por 10:
10x = 2,222\ldots = 2,\overline{2}.
Subtraindo as duas igualdades:
10x - x = 2,\overline{2} - 0,\overline{2} \quad\Rightarrow\quad 9x = 2.
Daí
x = \dfrac{2}{9},
confirmando que 0,\overline{2} é a representação decimal de \dfrac{2}{9}.

Passo 3

Interpretação prática para a prova: quando o denominador é 9, a fração \dfrac{a}{9} (com a inteiro entre 1 e 8) sempre gera um decimal periódico de um só dígito, igual a a repetido. Exemplo: \dfrac{7}{9}=0,\overline{7}.

Resposta

0,\overline{2}

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