Usando uma calculadora, reescreva os números racionais abaixo na forma decimal.
\frac{5}{11}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o número racional \dfrac{5}{11} na forma decimal.
Informações dadas:
  • Numerador: \,5.
  • Denominador: \,11.
    A tarefa é encontrar a representação decimal (possivelmente periódica) correspondente a essa fração.

Passo 2

Método 1 — divisão longa (explicação passo a passo, como fazer na prova). Vou dividir \,5 por \,11 e acompanhar restos para detectar repetição.
  • Como \,5<11, a parte inteira é \,0. Coloca-se a vírgula e continua-se com casas decimais.
  • Multiplica-se o resto inicial \,5 por 10 para obter a primeira casa decimal: 5\cdot10=50. Agora divide-se 50 por 11:
    • 50\div11=4 com resto 50-11\cdot4=50-44=6. Logo a primeira casa decimal é 4.
  • Multiplica-se o resto 6 por 10: 6\cdot10=60. Divide-se 60 por 11:
    • 60\div11=5 com resto 60-11\cdot5=60-55=5. A segunda casa decimal é 5.
  • Agora o resto voltou a ser \,5, que é o resto inicial. Quando um resto se repete, as casas decimais entre as duas ocorrências desse resto repetem indefinidamente. Aqui os restos seguiram a sequência 5\to6\to5\to6\to\cdots, produzindo os dígitos decimais 4,5,4,5,\ldots.
Portanto, pela divisão longa obtemos a sequência decimal periódica 0,4545\ldots, ou seja, o período é o par de dígitos 45.

Passo 3

Método 2 — verificação algébrica de que a repetição encontrada corresponde à fração dada (isso ajuda na prova).
Sejam x a decimal periódica encontrada:
x = 0,\overline{45}
Como o período tem 2 dígitos, multiplica-se por 100:
100x = 45,\overline{45}
Subtraindo as duas igualdades:
100x - x = 45,\overline{45} - 0,\overline{45}
99x = 45
x = \dfrac{45}{99}.
Simplificando \dfrac{45}{99} dividindo numerador e denominador por 9:
x = \dfrac{5}{11}.
Isso confirma que 0,\overline{45} é exatamente \dfrac{5}{11}.

Passo 4

Verificação numérica prática (usando calculadora, conforme pedido): ao calcular \dfrac{5}{11} numa calculadora obtém-se a aproximação 0,4545454545\ldots, que bate com o padrão periódico 0,\overline{45} obtido nos passos anteriores. Isso serve como checagem rápida em prova, mas a justificativa formal é a divisão longa e a verificação algébrica do Passo 3.

Resposta

0,\overline{45}

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