Usando uma calculadora, reescreva os números racionais abaixo na forma decimal. \frac{32}{99}
Passo 1
O enunciado dá a fração \dfrac{32}{99} e pede para reescrevê-la na forma decimal.
Informações relevantes: numerador 32 e denominador 99. A tarefa é encontrar a representação decimal exata (se possível) ou a expansão decimal aproximada.
Passo 2
Ideia principal: quando fazemos a divisão por 99 normalmente aparece um padrão repetitivo nos dígitos decimais porque há um número finito de restos possíveis na divisão. Vou mostrar duas maneiras claras de obter o decimal: (A) argumento algébrico com decimal periódico; (B) divisão longa mostrando o ciclo dos restos. Ambas chegam ao mesmo resultado.
Passo 3
Método A — demonstração algébrica do período repetido. Suponha que a representação decimal seja o número periódico 0,\overline{32} (isto é, 0,323232\ldots). Defina
y = 0,\overline{32}.
Multiplicando por 100 (porque o período tem 2 dígitos) desloca a vírgula duas casas:
100y = 32,\overline{32}.
Agora subtraímos as duas igualdades para eliminar a parte periódica:
100y - y = 32,\overline{32} - 0,\overline{32}.
No lado esquerdo fica 99y. No direito fica exatamente 32. Portanto
99y = 32 \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{32}{99}.
Concluímos que
\dfrac{32}{99} = 0,\overline{32} = 0,323232\ldots
Passo 4
Método B — divisão longa (mostra por que aparece o período). Fazer a divisão de 32{,}000\ldots por 99:
99 em 320 entra 3 vezes: 3\times99=297. Resto 320-297=23. Primeiro decimal: 3.
Baixa um zero → 230. 99 em 230 entra 2 vezes: 2\times99=198. Resto 230-198=32. Segundo decimal: 2.
Baixa um zero → volta a 320. Repetem-se os mesmos quocientes 3,2 e os mesmos restos 23,32. Logo o ciclo se repete indefinidamente.
Isso mostra diretamente que os dígitos decimais são 3,2,3,2,\ldots, ou seja 0,323232\ldots.
Passo 5
Observação final e interpretação prática: a forma compacta 0,\overline{32} é a representação exata e conveniente. Se precisar de aproximação com calculadora, escreve-se por exemplo 0,323232 (com apenas alguns pares 32 repetidos) ou arredonda-se conforme a precisão desejada.