Usando uma calculadora, reescreva os números racionais abaixo na forma decimal. \frac{432}{999}
Passo 1
O enunciado pede para reescrever o número racional dado na forma decimal. A informação fornecida é apenas a fração
\frac{432}{999}.
Ou seja: transformar \dfrac{432}{999} em sua representação decimal.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a fração, pois às vezes isso ajuda a entender o período decimal. Vou dividir numerador e denominador por 3 enquanto for possível:
Expliquei cada divisão: 432\div3=144, 999\div3=333; repetir dá 144\div3=48, 333\div3=111; novamente 48\div3=16, 111\div3=37. Logo a forma irreduzível é \dfrac{16}{37}.
Passo 3
Agora uma observação útil sobre denominatores da forma 9,99,999,\dots: como 999=10^{3}-1, qualquer fração com denominador 999 tende a gerar um decimal periódico cujo bloco repetido tem até 3 dígitos. Em particular, se escrevermos um decimal periódico com bloco de três dígitos abc (onde a,b,c são dígitos), isso corresponde exatamente à fração
0,\overline{abc}=\frac{abc}{999}.
Isto é uma propriedade geral: 0,\overline{d_1d_2\ldots d_k}=\dfrac{d_1d_2\ldots d_k}{10^k-1}.
Passo 4
Aplicando a ideia acima ao nosso caso: observe que o numerador é 432, três dígitos. Se existir um decimal periódico com bloco 432, ele vale
0,\overline{432}=\frac{432}{999}.
Posso provar isso com uma conta algébrica simples: seja x=0,\overline{432}. Multiplicando por 1000 (porque o período tem 3 dígitos) obtemos 1000x=432,\overline{432}. Subtraindo as duas equações:
1000x-x=432,\quad\text{ou seja}\quad 999x=432,
portanto
x=\frac{432}{999}.
Isso mostra que \dfrac{432}{999} é exatamente 0,\overline{432}.
Passo 5
Cheque numérico (usando calculadora): calculando \dfrac{432}{999} na calculadora obtemos aproximadamente
0,432432432432\ldots
ou seja, os três dígitos 432 se repetem indefinidamente. Isso confirma a representação periódica.
Passo 6
Interpretação final: a fração \dfrac{432}{999} equivale ao decimal periódico cujo bloco de repetição é 432. A forma curta e padrão para escrever isso é 0,\overline{432}.