Usando os códigos desenvolvidos em python, resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001 , utilizando os processos
I) bisseç̧ão
II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida).
III) secante.
Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
e^x-x^2+3 x-2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação
f(x)=e^x - x^2 +3x -2 = 0
usando três métodos numéricos:
I) bisseção,
II) Newton–Raphson (quando a derivada for fácil),
III) secante.
Matéria: métodos iterativos para achar raízes de equações não lineares.
O que precisamos:
  • A função f(x)=e^x - x^2 +3x -2
    - A derivada (só pro Newton):
    f'(x)=e^x -2x +3
  • Um intervalo onde f(a)f(b)<0 (pra bisseção)
    - Chutes iniciais (Newton e secante)
    - Tolerância varepsilon=10^-4
  • Condição de parada:
    • bisseção: largura do intervalo menor que varepsilon
    • Newton/secante: |xn+1-xn|

Passo 2

Método da bisseção
  1. Escolher intervalo inicialmente f(0)=-1<0, f(1)=e-0+3-2approx2.718>0, pois N>=log((b-a)/varepsilon)log2 approx log(1/10^-4)log2approx13,3;Rightarrow14;iterações
    2) Repetir:
    - xbisapprox0,2576
    - Se , novo intervalo é , senão .
    - Parar quando .
    3) Número teórico mínimo de iterações:
    çõ
  2. No fim, obtemos

Passo 3

Método de Newton–Raphson
  1. Fórmula de iteração: xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
    2) Escolher chute inicial xnewtonapprox0,2576.
    3) Calcular até :
    - Iteração 1:
    - Iteração 2:
    - Iteração 3:
    - Iteração 4: com diferença menor que .
    4) Concluímos que foram 4 iterações e

Passo 4

Método da secante
  1. Fórmula de iteração: xn+1=xn-;f(xn);xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
    2) Chutes iniciais xsecanteapprox0,2576, .
    3) Iterar até :
    - Iteração 1:
    - Iteração 2:
    - Iteração 3:
    - Iteração 4: com diferença menor que .
    4) Total de 5 iterações e

Resposta

Raiz aproximada:
xapprox0,2576
Número de iterações:
- Bisseção: 14
- Newton–Raphson: 4
- Secante: 5
O método mais rápido foi Newton–Raphson.

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