Usando o conceito de trabalho e energia potencial
\Delta U=U\left(\vec{r}_{t}\right)-U\left(\vec{r}_{i}\right)=-W_{t}=-\int_{i}^{t} \vec{F} \cdot d \vec{r}
Obtenha a expressão para energia potencial gravitacional.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos
\Delta U = U(\vec r_t) - U(\vec r_i) = -W_t = -\int_i^t \vec F\cdot d\vec r
aplicado à força gravitacional, de modo a encontrar uma expressão para a energia potencial gravitacional U.

Passo 2

A força gravitacional mútua entre uma massa m e o corpo central de massa M é dada em coordenadas radiais por
\vec F(r) = -\,\frac{G\,M\,m}{r^2}\,\hat r,
onde r=\|\vec r\| e \hat r é o versor radial. Num deslocamento puramente radial, d\vec r = dr\,\hat r, logo
\vec F\cdot d\vec r = -\,\frac{G\,M\,m}{r^2}\,dr.

Passo 3

Substituindo no integral de trabalho e usando
\Delta U = -\int_{r_i}^{r_t} \vec F\cdot d\vec r
temos
\Delta U = -\int_{r_i}^{r_t}\Bigl(-\,\frac{G\,M\,m}{r^2}\Bigr)\,dr = G\,M\,m \int_{r_i}^{r_t}\frac{dr}{r^2} = G\,M\,m\Bigl(-\frac{1}{r}\Bigr)\Big|_{r_i}^{r_t} = G\,M\,m\Bigl(\frac{1}{r_t}-\frac{1}{r_i}\Bigr).

Passo 4

Para definir U(r) de forma única, escolhemos como referência U(\infty)=0. Isto equivale a tomar r_i\to\infty e r_t=r. Assim
U(r)-0 = G\,M\,m\Bigl(\frac{1}{r}-\underbrace{\frac{1}{\infty}}_{0}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad U(r)=-\,\frac{G\,M\,m}{r}.

Resposta

A energia potencial gravitacional, tomando U(\infty)=0, é
U(r) = -\,\frac{G\,M\,m}{r}.

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