Usando a consequência do Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em intervalos fechados, encontre um intervalo fechado contendo o valor de cada integral definida abaixo:
∫_{0}^{2} 3 sen^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\int_{0}^{2}3\sin^{3}x\,dx
usando a consequência do Teorema do Valor Extremo, que diz: se f é contínua em [a,b] e m=\min_{[a,b]}f, M=\max_{[a,b]}f, então
m\,(b-a)\;\le\;\int_{a}^{b}f(x)\,dx\;\le\;M\,(b-a).

Passo 2

Identificamos f(x)=3\sin^{3}x. Em [0,2] temos 0\le x\le2<\pi, logo \sin x varia de \sin(0)=0 até \sin(\pi/2)=1. Assim
0\le\sin^{3}x\le1 \qquad\Longrightarrow\qquad 0\le3\sin^{3}x\le3.
Portanto m=0 e M=3.

Passo 3

Aplicando a desigualdade do Teorema do Valor Extremo:
0\cdot(2-0)\;\le\;\int_{0}^{2}3\sin^{3}x\,dx\;\le\;3\cdot(2-0),
isto é
0\;\le\;\int_{0}^{2}3\sin^{3}x\,dx\;\le\;6.

Resposta

\int_{0}^{2}3\sin^{3}x\,dx\in[0,6].

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