Use o teorema do valor médio para integrais, para provar as desigualdades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando o Teorema do Valor Médio para Integrais (ou, de forma equivalente, as desigualdades que vêm de usar o mínimo e o máximo de uma função contínua em um intervalo). A função em questão é
que é contínua e estritamente decrescente em
.
Passo 2
Como
é contínua em
e decrescente, nos temos para todo
:
Multiplicando essa desigualdade positiva pelo comprimento do intervalo, que é
, obtemos:
Passo 3
Calculemos
:
Logo
Passo 4
Calculemos
:
Logo
Resposta
Portanto juntando tudo, temos