Use o teorema do valor médio para integrais, para provar as desigualdades:
\sqrt{2} \leq \int_{5}^{9} \frac{1}{\sqrt{x-1}} d x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sqrt{2} \;\le\; \int_{5}^{9}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\,dx \;\le\; 2
usando o Teorema do Valor Médio para Integrais (ou, de forma equivalente, as desigualdades que vêm de usar o mínimo e o máximo de uma função contínua em um intervalo). A função em questão é
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}},
que é contínua e estritamente decrescente em [5,9].

Passo 2

Como f é contínua em [5,9] e decrescente, nos temos para todo x\in[5,9]:
f(9)\;\le\;f(x)\;\le\;f(5).
Multiplicando essa desigualdade positiva pelo comprimento do intervalo, que é 9-5=4, obtemos:
4\,f(9)\;\le\;\int_{5}^{9}f(x)\,dx\;\le\;4\,f(5).

Passo 3

Calculemos f(9):
f(9)=\frac{1}{\sqrt{9-1}}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Logo
4\,f(9)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{4}{2\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Passo 4

Calculemos f(5):
f(5)=\frac{1}{\sqrt{5-1}}=\frac{1}{2}.
Logo
4\,f(5)=4\cdot\frac{1}{2}=2.

Resposta

Portanto juntando tudo, temos
\sqrt{2}\;\le\;\int_{5}^{9}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\,dx\;\le\;2.

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