Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal gasto na fabricação de uma lata cilindrica fechada com 20 cm de altura e 8 cm diametro se a espesura da folla do metal ê de 0,2 cm.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o problema pede: estimar a quantidade de metal (ou seja, o volume de metal) de uma lata cilíndrica fechada usando diferenciais. Os dados são altura h = 20,cm, diâmetro d = 8,cm (logo, raio r = d/2 = 4,cm) e espessura da folha (diferença de contorno) De<a t = 0.2,cm.

Passo 2

A ideia de diferenciais que vamos usar é que, para um corpo, um aumento pequeno de espessura De<a t gera um volume aproximado dado por
De<a V approx S ,De<a t
onde S é a área de superfície total do objeto.

Passo 3

Agora, calculamos a área de superfície da lata cilíndrica fechada, que é a soma da área lateral e das duas bases. Assim,
S = área lateral + 2 bases = 2pi r h + 2pi r^2 á
Substituindo r = 4,cm e h = 20,cm temos
S = 2picdot4cdot20 + 2picdot4^2 = 160pi + 32pi = 192pi,cm^2

Passo 4

Multiplicamos a área de superfície pela espessura para estimar o volume de metal:
De<a V approx S,De<a t = 192pi times 0.2 = 38.4pi,cm^3

Passo 5

Por fim, podemos dar uma aproximação numérica usando pi approx 3.1416:
38.4pi approx 38.4 times 3.1416 approx 120.64,cm^3

Resposta

Vmetal approx 38.4pi,cm^3 approx 120.64,cm^3

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