Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x+3}{x-3}=4

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, usando a definição (do limite), que
\lim_{x \rightarrow 5} \frac{x+3}{x-3}=4.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+3}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=5.
  • A afirmação a ser provada é que o limite quando x\to5 vale 4.

Passo 2

Relembrando a definição de limite (em palavras simples): dizer que
\lim_{x\to5} f(x)=4
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, teremos |f(x)-4|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon é a tolerância desejada no valor da função (quão perto queremos que f(x) esteja de 4).
  • \delta é a tolerância no domínio (quão perto x deve estar de 5 para garantir a tolerância \varepsilon).
Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, fornecer um \delta>0 (em função de \varepsilon) que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Vamos manipular a expressão |f(x)-4| para ver como escolher \delta.
Calcule primeiro a diferença:
\frac{x+3}{x-3}-4=\frac{x+3-4(x-3)}{x-3}.
Agora desenvolvendo o numerador:
x+3-4(x-3)=x+3-4x+12=-3x+15=-3(x-5).
Portanto
\frac{x+3}{x-3}-4=\frac{-3(x-5)}{x-3}.
Tomando valor absoluto:
\left|\frac{x+3}{x-3}-4\right|=\frac{3|x-5|}{|x-3|}.

Passo 4

Queremos fazer \dfrac{3|x-5|}{|x-3|}<\varepsilon. O problema está no denominador |x-3|, que depende de x. A estratégia padrão é forçar x a ficar num intervalo onde |x-3| seja uniformemente maior que uma constante positiva, assim eliminamos a dependência complicada.
Escolhemos restringir |x-5|<1. Se |x-5|<1, então x\in(4,6). Para esses x temos
x-3\ge 1 \quad\Rightarrow\quad |x-3|\ge 1.
Além disso essa restrição garante x\neq 3, então a função está bem definida nesse intervalo.
Com |x-3|\ge 1 obtemos a estimativa útil
\frac{3|x-5|}{|x-3|}\le 3|x-5|.

Passo 5

Agora usamos a estimativa para relacionar com \varepsilon. Queremos 3|x-5|<\varepsilon, portanto basta garantir |x-5|<\dfrac{\varepsilon}{3}.
Combine as duas restrições (a de ficar dentro de distância 1 de 5 e a de ficar dentro de \varepsilon/3 de 5) definindo
\delta=\min\!\left(1,\;\frac{\varepsilon}{3}\right).
Então, para qualquer \varepsilon>0, se 0<|x-5|<\delta temos simultaneamente |x-5|<1 (logo |x-3|\ge1) e |x-5|<\varepsilon/3. Assim
\left|\frac{x+3}{x-3}-4\right|=\frac{3|x-5|}{|x-3|}\le 3|x-5|<3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta acima) tal que 0<|x-5|<\delta implica \left|\dfrac{x+3}{x-3}-4\right|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos, pela definição de limite, que
\lim_{x\to5}\frac{x+3}{x-3}=4.

Resposta

4

Exercícios relacionados