Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
As informações dadas são apenas a expressão da função
e o ponto de limite
. O objetivo é mostrar que, para todo
, existe
tal que
implica
.
Passo 2
Vou escrever explicitamente a definição que vou usar.
Definição (epsilon-delta): afirmar que
significa que
Aqui
. Em outras palavras precisamos controlar
em função de
.
Passo 3
Calculo algébrico de
:
Fatorando o polinômio:
Portanto, em valor absoluto,
Passo 4
Para aplicar a definição precisamos relacionar
com
. Uma maneira simples é forçar
a ficar num intervalo pequeno ao redor de
. Escolho, por exemplo, exigir que
Isso implica
. Subtraindo
obtemos
, logo
Alternativamente pode-se usar a desigualdade triangular:
quando
. Ambas mostram que, sempre que
, vale
.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior na expressão de
obtemos, para
,
Queremos que
, isto é, queremos
.
Portanto uma escolha conveniente de
que funciona para qualquer
é
Com essa escolha, para qualquer
com
temos primeiro
(logo
) e além disso
. Assim
Passo 6
Concluímos a prova no estilo epsilon-delta: dado qualquer
, tomando
, se
então
. Isso é exatamente a definição de