Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(5-x-x^{2}\right)=-1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
\lim_{x\to -3}\bigl(5-x-x^{2}\bigr) = -1.
As informações dadas são apenas a expressão da função f(x)=5-x-x^{2} e o ponto de limite x\to -3. O objetivo é mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|x+3|<\delta implica |f(x)+1|<\varepsilon.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a definição que vou usar.
Definição (epsilon-delta): afirmar que \lim_{x\to -3}f(x)=-1 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x+3|<\delta\Rightarrow |f(x)-(-1)|<\varepsilon.
Aqui f(x)=5-x-x^{2}. Em outras palavras precisamos controlar |f(x)+1| em função de |x+3|.

Passo 3

Calculo algébrico de |f(x)+1|:
f(x)+1 = 5-x-x^{2}+1 = 6 - x - x^{2}.
Fatorando o polinômio:
6 - x - x^{2} = -(x^{2}+x-6) = -(x+3)(x-2).
Portanto, em valor absoluto,
|f(x)+1| = |6 - x - x^{2}| = |x+3|\,|x-2|.

Passo 4

Para aplicar a definição precisamos relacionar |x-2| com |x+3|. Uma maneira simples é forçar x a ficar num intervalo pequeno ao redor de -3. Escolho, por exemplo, exigir que
|x+3|<1.
Isso implica -4<x<-2. Subtraindo 2 obtemos -6<x-2<-4, logo
|x-2|<6.
Alternativamente pode-se usar a desigualdade triangular:
|x-2| = |(x+3)-5| \le |x+3| + 5 < 1 + 5 = 6,
quando |x+3|<1. Ambas mostram que, sempre que |x+3|<1, vale |x-2|<6.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior na expressão de |f(x)+1| obtemos, para |x+3|<1,
|f(x)+1| = |x+3|\,|x-2| < |x+3|\cdot 6 = 6|x+3|.
Queremos que 6|x+3|<\varepsilon, isto é, queremos |x+3|<\varepsilon/6.
Portanto uma escolha conveniente de \delta que funciona para qualquer \varepsilon>0 é
\delta = \min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{6}\right).
Com essa escolha, para qualquer x com 0<|x+3|<\delta temos primeiro |x+3|<1 (logo |x-2|<6) e além disso |x+3|<\varepsilon/6. Assim
|f(x)+1| < 6|x+3| < 6\cdot\frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon.

Passo 6

Concluímos a prova no estilo epsilon-delta: dado qualquer \varepsilon>0, tomando \delta=\min(1,\varepsilon/6)>0, se 0<|x+3|<\delta então |f(x)+1|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{x\to -3}\bigl(5-x-x^{2}\bigr) = -1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -3}\bigl(5-x-x^{2}\bigr) = -1

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