Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-4 x+5\right)=1

Passo 1

O enunciado pede demostrar, usando a definição, que
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-4x+5\right)=1.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=x^{2}-4x+5.
  • O ponto onde fazemos o limite é x\to 2.
  • A afirmação a provar é que o limite vale 1.

Passo 2

Vou lembrar a definição (do jeito que vamos usar aqui): dizer que
\lim_{x\to 2} f(x)=1
significa o seguinte — para todo \varepsilon>0 (qualquer tolerância desejada sobre o valor de f(x)), existe um \delta>0 (uma tolerância sobre x) tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, teremos |f(x)-1|<\varepsilon.
Explicando as letras:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa o quanto podemos aceitar de erro em f(x) em relação ao limite 1.
  • \delta>0 é um número que vamos escolher em função de \varepsilon; se x estiver dentro de distância \delta de 2 (mas não igual), então f(x) estará dentro de \varepsilon de 1.

Passo 3

Calculo a diferença entre a função e o valor candidato do limite para simplificar:
f(x)-1 = \bigl(x^{2}-4x+5\bigr)-1 = x^{2}-4x+4.
Reconheço que x^{2}-4x+4 é um quadrado perfeito:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Portanto, em módulo,
|f(x)-1| = |x-2|^{2}.

Passo 4

A condição que precisamos garantir é |f(x)-1|<\varepsilon. Como |f(x)-1|=|x-2|^{2}, isso fica
|x-2|^{2}<\varepsilon.
Tomando raiz quadrada (tudo não negativo), obtemos
|x-2|<\sqrt{\varepsilon}.
Isso sugere escolher \delta=\sqrt{\varepsilon}. Note que para qualquer \varepsilon>0 a raiz \sqrt{\varepsilon} é bem definida e positiva, então \delta>0.

Passo 5

Agora faço a prova formal no formato \varepsilon- \delta:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Escolha
\delta=\sqrt{\varepsilon}.
Agora, suponha x satisfazendo 0<|x-2|<\delta. Então
|f(x)-1| = |x-2|^{2} < \delta^{2} = \bigl(\sqrt{\varepsilon}\bigr)^{2} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 (a escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}) tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-1|<\varepsilon. Portanto, pela definição, o limite é 1.

Passo 6

Comentário intuitivo e exemplo numérico rápido para fixar: a diferença entre f(x) e 1 é (x-2)^{2}, ou seja, fica quadráticamente pequena quando x se aproxima de 2. Por exemplo, se \varepsilon=0,04 (aceitamos erro de 0,04), então \delta=\sqrt{0,04}=0,2; assim, sempre que x estiver a menos de 0,2 de 2, teremos |f(x)-1|<0,04. Força aí — é um caso muito direto e limpinho!

Resposta

\lim_{x\rightarrow 2}\left(x^{2}-4 x+5\right)=1

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