Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede demostrar, usando a definição, que
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto onde fazemos o limite é
. - A afirmação a provar é que o limite vale
.
Passo 2
Vou lembrar a definição (do jeito que vamos usar aqui): dizer que
significa o seguinte — para todo
(qualquer tolerância desejada sobre o valor de
), existe um
(uma tolerância sobre
) tal que, sempre que
, teremos
.
Explicando as letras:
-
é um número pequeno que representa o quanto podemos aceitar de erro em em relação ao limite . -
é um número que vamos escolher em função de ; se estiver dentro de distância de (mas não igual), então estará dentro de de .
Passo 3
Calculo a diferença entre a função e o valor candidato do limite para simplificar:
Reconheço que
é um quadrado perfeito:
Portanto, em módulo,
Passo 4
A condição que precisamos garantir é
. Como
, isso fica
Tomando raiz quadrada (tudo não negativo), obtemos
Isso sugere escolher
. Note que para qualquer
a raiz
é bem definida e positiva, então
.
Passo 5
Agora faço a prova formal no formato
-
:
Seja arbitrário
. Escolha
Agora, suponha
satisfazendo
. Então
Isso mostra exatamente que, dado qualquer
, existe
(a escolha
) tal que
implica
. Portanto, pela definição, o limite é
.
Passo 6
Comentário intuitivo e exemplo numérico rápido para fixar: a diferença entre
e
é
, ou seja, fica quadráticamente pequena quando
se aproxima de
. Por exemplo, se
(aceitamos erro de
), então
; assim, sempre que
estiver a menos de
de
, teremos
. Força aí — é um caso muito direto e limpinho!