Usando a definição de derivada, calcule a derivada de cada função dada:
f(x)=xx+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=xx+5
usando a definição de derivada por limite. Vamos usar
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Substituindo f(x+h) e f(x) na definição, temos
f(x+h)-f(x)h =x+hx+h+5-xx+5h

Passo 3

Fazendo a subtração de frações com denominador comum,
x+hx+h+5-xx+5 =(x+h)(x+5)-x(x+h+5)(x+h+5)(x+5)
No numerador:
(x+h)(x+5)-x(x+h+5) =x^2+5x +hx+5h -l(x^2+hx+5xr) =5h
Logo o quociente de diferença fica
5h(x+h+5)(x+5)cdot1h =5(x+h+5)(x+5)

Passo 4

Fazendo hto0 na expressão acima, obtemos
f'(x) =limhto05(x+h+5)(x+5) =5(x+5)^2

Resposta

f'(x)=5(x+5)^2

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