Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
f(x)=\left\{\begin{array}{cll}x^{2} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } & x>1\end{array} \quad, p=2\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1, \end{cases}
e informa o ponto p=2. A pergunta é: calcular f^{\prime}(p) (ou seja, a derivada de f no ponto p).
Informações relevantes que já sabemos do enunciado:
p=2>1,
e as duas expressões da função em seus respectivos intervalos de validade (uma para x\leq 1 e outra para x>1).]

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que vamos usar (a definição clássica com incremento). A derivada de f no ponto a é o limite
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
se esse limite existir. Aqui h é o incremento em x; a expressão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é chamada de quociente de diferença e mede a razão média de variação de f entre a e a+h. Para que a derivada exista, esse limite tem que ser o mesmo quando h se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.

Passo 3

Primeiro, calculemos f(2). Como 2>1, usamos a segunda parte da definição da função:
f(2)=2\cdot 2-1=4-1=3.

Passo 4

Antes de montar o quociente de diferença, é importante verificar qual ramo da função vale em pontos próximos de 2. Note que, se h satisfaz |h|<1, então
2+h>2-1=1,
logo para todo h com |h|<1 temos 2+h>1 e, portanto, f(2+h) é dado pela expressão 2(2+h)-1. Isso quer dizer que, ao calcular o limite quando h\to 0, podemos escolher um intervalo de h pequeno (por exemplo |h|<1) em que sempre usamos a mesma expressão 2x-1 para f tanto em x=2 quanto em x=2+h. Assim não há troca de ramo ao aproximar h a zero, e podemos aplicar a fórmula do ramo linear diretamente.

Passo 5

Agora escrevemos o quociente de diferença usando a expressão linear 2x-1 aplicável em 2 e em 2+h:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{\bigl(2(2+h)-1\bigr)-\bigl(2\cdot 2-1\bigr)}{h}.
Vamos simplificar passo a passo:
2(2+h)-1 = 4+2h-1 = 3+2h,
e já calculamos f(2)=3. Então
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(3+2h)-3}{h}=\frac{2h}{h}.

Passo 6

Simplificando \dfrac{2h}{h} para h\neq 0 obtemos 2. Portanto o quociente de diferença é igual a 2 para todo h pequeno e não nulo (com |h|<1). Assim o limite quando h\to 0 é simplesmente
\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}2=2.
Isso mostra que a derivada existe em p=2 e vale 2.

Passo 7

Interpretação rápida: a parte da função válida perto de x=2 é uma reta de coeficiente angular 2 (a expressão 2x-1), e a derivada no ponto é justamente esse coeficiente angular. Fizemos tudo pelo limite da definição para garantir rigor.

Resposta

f^{\prime}(2)=2

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