Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
f(x)=\left\{\begin{array}{cll}\sqrt{x} & \text { se } & x \leq 1 \\\ \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} & \text { se } & x>1\end{array} \quad, p=1\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(p)\) no ponto \(p=1\), onde a função \(f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} \sqrt{x} & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes que já temos a partir do enunciado:
f(1)=\sqrt{1}=1,
pois para x=1\] usamos a primeira ramificação (\(x\leq 1). A tarefa é encontrar a derivada de f em p=1 usando a definição de derivada.]

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada (aula rápida e prática): seja p um ponto. A derivada de f em p é o limite
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h},
quando esse limite existir. Aqui h representa um pequeno incremento em x: p+h é um ponto próximo de p. Como a função é dada por partes, quando h se aproxima de 0 vindo da esquerda ( h\to 0^-) usamos a ramificação para x\leq 1; quando h\to 0^+ usamos a ramificação para x>1. Portanto devemos calcular os limites laterais
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e verificar se são iguais. Só se os dois forem iguais existe f'(1).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda ( h\to 0^-). Para h<0 pequeno temos 1+h\leq 1, então usamos f(1+h)=\sqrt{1+h}. O quociente incremental é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}.
Essa expressão tem forma 0/0 quando h\to 0, então usamos o truque do conjugado para simplificar (é uma técnica padrão para eliminar raízes no numerador): multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{1+h}+1. Assim
\frac{\sqrt{1+h}-1}{h} =\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0^-. Como \sqrt{1+h}\to 1 quando h\to 0, obtemos
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Explicação do passo: multiplicar pelo conjugado transformou a diferença de raízes numa expressão sem raiz no numerador, permitindo cancelar o h e avaliar o limite facilmente.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita ( h\to 0^+). Para h>0 pequeno temos 1+h>1, então usamos a segunda ramificação f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}. Assim
f(1+h)=\frac{1}{2}(1+h)+\frac{1}{2}=1+\frac{h}{2}.
O quociente incremental é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\bigl(1+\dfrac{h}{2}\bigr)-1}{h}=\frac{h/2}{h}=\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{1}{2}.
Observação didática: para funções lineares ax+b a derivada é simplesmente o coeficiente angular a; aqui a=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comparando os dois limites: o limite pela esquerda deu \tfrac{1}{2} e o limite pela direita também deu \tfrac{1}{2}. Como os limites laterais são iguais, o limite central existe e
f'(1)=\frac{1}{2}.
Comentário motivador: mesmo sendo uma função por partes, as tangentes das duas ramificações “casaram” em x=1, então temos derivada ali — e é \tfrac{1}{2}. Vai dar certo na prova: verifique sempre os dois lados quando o ponto é fronteira de uma ramificação.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados