Usando a definição de derivada, calcule
, onde
e
são dados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações relevantes que já temos a partir do enunciado:
pois para
). A tarefa é encontrar a derivada de
em
usando a definição de derivada.]
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada (aula rápida e prática): seja
um ponto. A derivada de
em
é o limite
quando esse limite existir. Aqui
representa um pequeno incremento em
:
é um ponto próximo de
. Como a função é dada por partes, quando
se aproxima de
vindo da esquerda (
) usamos a ramificação para
; quando
usamos a ramificação para
. Portanto devemos calcular os limites laterais
e verificar se são iguais. Só se os dois forem iguais existe
.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda (
). Para
pequeno temos
, então usamos
. O quociente incremental é
Essa expressão tem forma 0/0 quando
, então usamos o truque do conjugado para simplificar (é uma técnica padrão para eliminar raízes no numerador): multiplicamos numerador e denominador por
. Assim
Agora tomamos o limite quando
. Como
quando
, obtemos
Explicação do passo: multiplicar pelo conjugado transformou a diferença de raízes numa expressão sem raiz no numerador, permitindo cancelar o
e avaliar o limite facilmente.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita (
). Para
pequeno temos
, então usamos a segunda ramificação
. Assim
O quociente incremental é
Portanto
Observação didática: para funções lineares
a derivada é simplesmente o coeficiente angular
; aqui
.
Passo 5
Comparando os dois limites: o limite pela esquerda deu
e o limite pela direita também deu
. Como os limites laterais são iguais, o limite central existe e
Comentário motivador: mesmo sendo uma função por partes, as tangentes das duas ramificações “casaram” em
, então temos derivada ali — e é
. Vai dar certo na prova: verifique sempre os dois lados quando o ponto é fronteira de uma ramificação.