Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{5}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função \,h(x)=\frac{5}{x^{3}}\,.
Informações dadas: a expressão da função é \,h(x)=\frac{5}{x^{3}}\,.
O que se espera: encontrar h'(x) para os valores de x em que a função está definida (note que a função não está definida em x=0).

Passo 2

Primeiro é útil reescrever a função usando potência de x. Lembre que \,x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}\, quando x\neq0. Portanto podemos escrever:
h(x)=5x^{-3}

Passo 3

Vou usar duas regras de derivação que são muito usadas na prova: a regra do fator constante e a regra da potência. A regra do fator constante diz que, se c é uma constante e f(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big[c\cdot f(x)\big]=c\cdot f'(x).
Aqui c é um número fixo (no nosso caso 5) e f(x) é uma função de x.

Passo 4

A outra regra é a regra da potência. Para um expoente n (inteiro ou real, com atenção ao domínio), temos
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n\,x^{n-1}.
Nessa fórmula, x é a variável independente e n é o expoente. Esta regra nos permite derivar potências de x de forma direta.

Passo 5

Agora aplico as duas regras à nossa função reescrita. Temos h(x)=5x^{-3}. Usando a regra do fator constante:
h'(x)=5\cdot\frac{d}{dx}\big[x^{-3}\big].
Usando a regra da potência com n=-3:
\frac{d}{dx}\big[x^{-3}\big]=-3\,x^{-4}.
Substituindo na expressão de h'(x):
h'(x)=5\cdot\big(-3\,x^{-4}\big)=-15\,x^{-4}.
Por fim, podemos reescrever em forma de fração:
h'(x)=-15x^{-4}=-\frac{15}{x^{4}},\qquad x\neq0.

Resposta

\displaystyle -\frac{15}{x^{4}}

Exercícios relacionados