Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
definida por
Informações relevantes: a função está escrita como uma fração com potência no denominador, logo ela só está definida para
. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a função numa forma que facilite o uso das regras de derivação. Usamos a propriedade das potências:
Explicação curta: trocar a fração por potência negativa é uma regra básica de expoentes — isto torna direto aplicar a regra de derivação para potências.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar (regra do poder/potência):
Significado das letras:
é o expoente (pode ser inteiro, fracionário ou negativo),
é a variável, e
é a derivada de
em relação a
.
Exemplo simples para fixar: se , então
.
Exemplo simples para fixar: se
Passo 4
Aplicando a regra do poder à nossa função reescrita
: aqui
. Então
Mostrando a conta do expoente:
.
Passo 5
Voltar para forma com expoente positivo no denominador (mais usual quando a função vinha em forma de fração):
Lembrete de domínio: essa expressão só faz sentido para
, como já observado no Passo 1.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para ficar seguro): usar a regra do quociente em
com
e
. Temos
e
. A regra do quociente dá
que é exatamente o mesmo resultado — bom sinal.