Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{1}{x^{10}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função h definida por
h(x)=\frac{1}{x^{10}}.
Informações relevantes: a função está escrita como uma fração com potência no denominador, logo ela só está definida para x\neq 0. O objetivo é encontrar h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função numa forma que facilite o uso das regras de derivação. Usamos a propriedade das potências:
\frac{1}{x^{10}}=x^{-10}.
Explicação curta: trocar a fração por potência negativa é uma regra básica de expoentes — isto torna direto aplicar a regra de derivação para potências.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (regra do poder/potência):
\text{Se }f(x)=x^{n}\text{ com \(n\) sendo um número real, então }f'(x)=n\,x^{n-1}.úã
Significado das letras: n é o expoente (pode ser inteiro, fracionário ou negativo), x é a variável, e f'(x) é a derivada de f em relação a x.
Exemplo simples para fixar: se f(x)=x^{3}, então f'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do poder à nossa função reescrita h(x)=x^{-10}: aqui n=-10. Então
h'(x)=(-10)\,x^{-10-1}=(-10)\,x^{-11}.
Mostrando a conta do expoente: -10-1=-11.

Passo 5

Voltar para forma com expoente positivo no denominador (mais usual quando a função vinha em forma de fração):
(-10)\,x^{-11}=-10\cdot\frac{1}{x^{11}}=-\frac{10}{x^{11}}.
Lembrete de domínio: essa expressão só faz sentido para x\neq 0, como já observado no Passo 1.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para ficar seguro): usar a regra do quociente em h(x)=\dfrac{1}{x^{10}} com u(x)=1 e v(x)=x^{10}. Temos u'(x)=0 e v'(x)=10x^{9}. A regra do quociente dá
h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{0\cdot x^{10}-1\cdot 10x^{9}}{(x^{10})^{2}}=\frac{-10x^{9}}{x^{20}}=-10x^{-11}=-\frac{10}{x^{11}},
que é exatamente o mesmo resultado — bom sinal.

Resposta

\displaystyle -\frac{10}{x^{11}}

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