Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
. Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
. - Domínio da função:
só está definida para . Logo deve satisfazer . - A tarefa exige usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada centrada em
. Por definição,
Isto significa: calcular o quociente
para
pequeno (e com
dentro do domínio), e então ver o que esse quociente tende quando
. Note que, quando
, a expressão só faz sentido para
(pois
deve ser
), portanto o limite é necessariamente lateral (pela direita) nesse caso.
Passo 3
Substituo
na expressão do quociente:
Essa forma dá a indeterminação
quando
, então uso o truque clássico: multiplicar numerador e denominador pela conjugada
(que é igual a
multiplicado por aquele fator sobre ele mesmo), para eliminar as raízes no numerador. Faço isso:
Passo 4
No numerador uso a identidade
. Com
e
obtemos:
Substituindo isso na fração:
Como estamos avaliando o limite quando
e na expressão do quociente já consideramos
, podemos cancelar
no numerador e denominador, obtendo para
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Se
, a função raiz é contínua em
, então
quando
. Assim
Aqui usei que podemos usar substituição direta no limite porque o denominador não se anula quando
(fica
).
Passo 6
Falta analisar o caso limite
. Para
o quociente é
mas atenção: quando
só podemos considerar
(domínio). Então o limite apropriado é o limite pela direita:
Portanto a derivada em
não existe como número finito (o quociente cresce sem limite). Em termos usuais dizemos que
não é diferenciável em
(ou que a derivada é infinita).
Passo 7
Resumo interpretativo (dica para a prova): o procedimento que se usa frequentemente para funções com raízes é racionalizar o numerador usando a conjugada; isso evita a indeterminação
e permite simplificar o fator
. Depois basta usar continuidade para avaliar o limite. Para uma forma geral, a derivada de
é
para
, fórmula que decorre do cálculo acima.
Resposta
Para
:
Para :
não existe (tende para
).
Para