Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=\sqrt{x}, \quad x_{0}=a

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right) onde f(x)=\sqrt{x} e x_{0}=a. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=a.
  • Domínio da função: \sqrt{x} só está definida para x\ge 0. Logo a deve satisfazer a\ge 0.
  • A tarefa exige usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada centrada em a. Por definição,
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isto significa: calcular o quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} para h pequeno (e com a+h dentro do domínio), e então ver o que esse quociente tende quando h\to0. Note que, quando a=0, a expressão só faz sentido para h\ge0 (pois a+h deve ser \ge0), portanto o limite é necessariamente lateral (pela direita) nesse caso.

Passo 3

Substituo f(x)=\sqrt{x} na expressão do quociente:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}.
Essa forma dá a indeterminação \tfrac{0}{0} quando h\to0, então uso o truque clássico: multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{a+h}+\sqrt{a} (que é igual a 1 multiplicado por aquele fator sobre ele mesmo), para eliminar as raízes no numerador. Faço isso:
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\cdot\frac{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} =\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}.

Passo 4

No numerador uso a identidade (u-v)(u+v)=u^2-v^2. Com u=\sqrt{a+h} e v=\sqrt{a} obtemos:
(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})=(a+h)-a=h.
Substituindo isso na fração:
\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)} =\frac{h}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}.
Como estamos avaliando o limite quando h\to0 e na expressão do quociente já consideramos h\neq0, podemos cancelar h no numerador e denominador, obtendo para h\neq0
\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to0. Se a>0, a função raiz é contínua em a, então \sqrt{a+h}\to\sqrt{a} quando h\to0. Assim
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} =\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}} \qquad\text{(para \(a>0\)).}
Aqui usei que podemos usar substituição direta no limite porque o denominador não se anula quando a>0 (fica 2\sqrt{a}>0).

Passo 6

Falta analisar o caso limite a=0. Para a=0 o quociente é
\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}},
mas atenção: quando a=0 só podemos considerar h\ge0 (domínio). Então o limite apropriado é o limite pela direita:
\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty.
Portanto a derivada em a=0 não existe como número finito (o quociente cresce sem limite). Em termos usuais dizemos que f não é diferenciável em 0 (ou que a derivada é infinita).

Passo 7

Resumo interpretativo (dica para a prova): o procedimento que se usa frequentemente para funções com raízes é racionalizar o numerador usando a conjugada; isso evita a indeterminação \tfrac{0}{0} e permite simplificar o fator h. Depois basta usar continuidade para avaliar o limite. Para uma forma geral, a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2} para x>0, fórmula que decorre do cálculo acima.

Resposta

Para a>0: f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}
Para a=0: f'\!(0) não existe (tende para +\infty).

Exercícios relacionados