Usando a definição de derivadas parciais, calcule fx(x, y) e fy(x, y)
(b) f(x, y)=x^2 y-x^3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y - x{3}y{2}. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos usar a definição
fx(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h
e similarmente para f_y(x,y), além das regras de expansão de potências.

Passo 2

Para calcular fx(x,y), usamos a definição de derivada parcial em relação a x:
fx(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h
Calculando f(x+h,y)=(x+h)^2y - (x+h)^3y^2 e expandindo:
f(x+h,y)-f(x,y)=2xyh + yh^2 - 3x^2y^2h - 3xy^2h^2 - y^2h^3
Dividindo por h e tomando hto0, obtemos
fx(x,y)=2xy - 3x^2y^2

Passo 3

Para calcular fy(x,y), usamos a definição de derivada parcial em relação a y:
fy(x,y)=limkto0f(x,y+k)-f(x,y)k
Calculando f(x,y+k)=x^2(y+k) - x^3(y+k)^2 e expandindo:
f(x,y+k)-f(x,y)=x^2k - 2x^3yk - x^3k^2
Dividindo por k e tomando kto0, obtemos
fy(x,y)=x^2 - 2x^3y

Resposta

f_x(x,y)=2xy - 3x2y2, f_y(x,y)=x^2 - 2x^3y

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