Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis nos pontos indicados:
©
em
.
©
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em (0,0). O conteúdo de matéria é diferenciabilidade de funções de várias variáveis e vamos precisar da definição de derivada parcial e da definição de diferenciabilidade (erro pequeno em comparação à norma do vetor).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição
porém em (h,0) temos
Logo
quando h\to0. Assim
De modo análogo, na direção y obtemos
Passo 3
Se f fosse diferenciável em (0,0), existiria um mapeamento linear L dado por
tal que
quando (h,k)\to(0,0). Agora vamos checar essa condição de fato.
Passo 4
Considere o caminho h=k=t. Então
Expandindo em série para t pequeno, sin(2t3)≈2t3, vem
Logo o erro é
Dividindo pela norma do vetor (t,t), que é |t|√2, temos
Isso mostra que o resto não é um termo o(\sqrt{h2+k2}) e, portanto, f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0).