Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis nos pontos indicados:
© f(x, y)= sin (x^3+y^3)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= sin(x^3+y^3)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo de matéria é diferenciabilidade de funções de várias variáveis e vamos precisar da definição de derivada parcial e da definição de diferenciabilidade (erro pequeno em comparação à norma do vetor).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h,
porém em (h,0) temos
f(h,0)=sin(h^3+0)h^2+0=sin(h^3)h^2
Logo
f(h,0)-0h=sin(h^3)h^3to1
quando h\to0. Assim
partial fpartial x(0,0)=1
De modo análogo, na direção y obtemos
partial fpartial y(0,0)=1

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), existiria um mapeamento linear L dado por
L(h,k)=hcdot1 + kcdot1 = h+k
tal que
f(h,k) - L(h,k) = o(raizh^2+k^2)
quando (h,k)\to(0,0). Agora vamos checar essa condição de fato.

Passo 4

Considere o caminho h=k=t. Então
f(t,t)=sin(2t^3)2t^2
Expandindo em série para t pequeno, sin(2t3)≈2t3, vem
f(t,t)≈2t^32t^2=t
Logo o erro é
f(t,t)-L(t,t)=t - (t+t)= -t
Dividindo pela norma do vetor (t,t), que é |t|√2, temos
|f(t,t)-L(t,t)|raiz2|t|=| -t|raiz2|t|=1raiz2nrightarrow 1raiz2neq0
Isso mostra que o resto não é um termo o(\sqrt{h2+k2}) e, portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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