Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=tg x, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa encontrar a derivada da função f(x) = tan x no ponto x0 = 0 usando a definição de derivada. Para isso, vamos lembrar que derivadas estão relacionadas às taxas de variação das funções, e a definição básica que vamos usar é:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Então, vamos aplicar isso passo a passo para a função tangente no ponto zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar f(x0) e f(x0 + h) . Aqui, x0 = 0 , então:
f(0) = tan 0 = 0
f(0 + h) = tan h

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na definição da derivada:
f'(0) = limh to 0 tan h - 0h = limh to 0 tan hh

Passo 4

Para resolver esse limite, lembramos de uma importante identidade limite:
limh to 0 tan hh = 1
Isso porque tan h pode ser escrito como sin hcos h , e sabemos que:
limh to 0 sin hh = 1 e limh to 0 cos h = 1
Então:
limh to 0 tan hh = limh to 0 sin hh cos h = 11 = 1

Resposta

Portanto, a derivada de f(x) = tan x no ponto x0 = 0 é:
f'(0) = 1

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