Usando a definição de limite, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a 0. Vamos usar a definição de limite para resolver isso. Basicamente, vamos provar que para qualquer valor pequeno que a gente escolha próximo de 0 (chamado de
), existe um intervalo ao redor de 1 (definido por
) onde a função fica dentro desse
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição formal de limite:
Significa que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos simplificar
. Primeiramente, notamos que quando
:
Isso significa que
é um fator do polinômio. Vamos fatorar:
Então, temos:
Passo 4
Agora, queremos que
. Já vimos que isso é igual a
. Para controlar isso, vamos encontrar um limite para
quando
está próximo de 1.
Suponha que
, então
está entre 0 e 2. Assim:
Portanto:
Então:
Passo 5
Queremos que
. Para isso, basta escolher
.
Mas também assumimos
, então devemos escolher
como o mínimo entre 1 e
.
Ou seja:
Resposta
Portanto, de acordo com a definição de limite, para todo
, escolhendo
, garantimos que
.