Usando a definição de limite, demonstre que lim x 1 x^3+3 x^2-4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 0. Vamos usar a definição de limite para resolver isso. Basicamente, vamos provar que para qualquer valor pequeno que a gente escolha próximo de 0 (chamado de ), existe um intervalo ao redor de 1 (definido por ) onde a função fica dentro desse .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal de limite:
limx to a f(x) = L
Significa que para todo forall varepsilon > 0, exists de 0 tal que se 0 < |x - 1| < de, existe um tal que se , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que:
ã

Passo 3

Vamos simplificar 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 . Primeiramente, notamos que quando x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)^2 :
|x^3 + 3x^2 - 4| = |x - 1||x + 2|^2
Isso significa que é um fator do polinômio. Vamos fatorar:
Então, temos:

Passo 4

Agora, queremos que |x + 2| <= 4 . Já vimos que isso é igual a |x + 2|^2 <= 16 . Para controlar isso, vamos encontrar um limite para |x^3 + 3x^2 - 4| = |x - 1||x + 2|^2 <= 16|x - 1| quando está próximo de 1.
Suponha que , então está entre 0 e 2. Assim:
Portanto:
Então:

Passo 5

Queremos que de. Para isso, basta escolher .
Mas também assumimos , então devemos escolher como o mínimo entre 1 e .
Ou seja:

Resposta

Portanto, de acordo com a definição de limite, para todo , escolhendo , garantimos que .

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