Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra calcular a derivada da função trigonométrica
. Vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente, que é perfeita pra quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma que fique bem clara:
Aqui temos
no numerador e
no denominador.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar essa função. A regra diz que se você tem uma função
, a derivada
é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora temos tudo que precisamos pra aplicar a regra.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que diz:
Portanto, substituindo na nossa expressão:
Isso pode ser reescrito usando a função cosecante:
Resposta
A derivada de
é: