Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo: cot(x) = cos(x) / sin(x)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra calcular a derivada da função trigonométrica . Vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente, que é perfeita pra quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique bem clara:
Aqui temos no numerador e no denominador.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar essa função. A regra diz que se você tem uma função , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de g(x) e h(x):
Agora temos tudo que precisamos pra aplicar a regra.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que diz:
Portanto, substituindo na nossa expressão:
Isso pode ser reescrito usando a função cosecante:

Resposta

A derivada de é:

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