Usando a definição ou o teorema de Laplace, calcule o determinante das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & -2 \\\\ -1 & 3 & 2 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\[6pt] 2 & 4 & 3 & 0 \\[6pt] 3 & 2 & 1 & -2 \\[6pt] -1 & 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}
O conteúdo é determinante de matriz de ordem 4. Vamos usar propriedades de operações elementares sobre linhas, que não alteram (ou alteram de forma controlada) o valor do determinante, para reduzir a matriz a uma forma mais simples.]

Passo 2

Usamos a primeira linha como pivô e eliminamos as entradas abaixo dela na primeira coluna. As operações são do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, que deixam o determinante inalterado:
R₂ ← R₂ – 2·R₁
R₃ ← R₃ – 3·R₁
R₄ ← R₄ + 1·R₁

Passo 3

Após essas operações obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 6 & 5 & -2 \\[4pt] 0 & 5 & 4 & -5 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}.
Como só usamos operações que não mudam o determinante, temos
\det(A) =\;1\;\times \det\!\begin{pmatrix} 6 & 5 & -2\\[4pt] 5 & 4 & -5\\[4pt] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante da submatriz
B = \begin{pmatrix} 6 & 5 & -2\\[4pt] 5 & 4 & -5\\[4pt] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}
usando a regra de Sarrus (ou expansão de Laplace). Pela regra de Sarrus,
\det(B) =6\,(4\cdot8 - (-5)\cdot1) -5\,(5\cdot8 - (-5)\cdot2) +(-2)\,(5\cdot1 - 4\cdot2).]

Passo 5

Calculando cada parcela:
6\,(32+5)=6\cdot37=222,\quad -5\,(40+10)=-5\cdot50=-250,\quad -2\,(5-8)=-2\cdot(-3)=6.
Somando,
\det(B)=222 - 250 + 6 = -22.
Logo,
\det(A)=1\cdot\det(B)=-22.

Resposta

-22

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