Usando a definição ou o teorema de Laplace, calcule o determinante das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\\\ -2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 4 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -2 & 1 & 3\\\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}
Usaremos o teorema de Laplace, expandindo por cofatores ao longo da primeira linha.

Passo 2

Pela expansão de Laplace na primeira linha,
\det(A) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}) =a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é o menor obtido ao riscar a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Para j=1: a_{11}=3 e
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 4 & 5\end{pmatrix}, \quad \det(M_{11})=1\cdot5-3\cdot4=5-12=-7.
Como C_{11}=(-1)^{1+1}(-7)=1\cdot(-7)=-7, temos
a_{11}C_{11}=3\cdot(-7)=-21.

Passo 4

Para j=2: a_{12}=-1 e
M_{12}=\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 1 & 5\end{pmatrix}, \quad \det(M_{12})=(-2)\cdot5-3\cdot1=-10-3=-13.
Como C_{12}=(-1)^{1+2}(-13)=-1\cdot(-13)=13, temos
a_{12}C_{12}=(-1)\cdot13=-13.

Passo 5

Para j=3: a_{13}=1 e
M_{13}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix}, \quad \det(M_{13})=(-2)\cdot4-1\cdot1=-8-1=-9.
Como C_{13}=(-1)^{1+3}(-9)=1\cdot(-9)=-9, temos
a_{13}C_{13}=1\cdot(-9)=-9.

Passo 6

Somando as contribuições:
\det(A) = -21 + (-13) + (-9) = -43.

Resposta

\,-43

Exercícios relacionados