Usando derivação implícita, calcule y^prime :
ln (y-x)=ln (x+y)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
ln(y - x) = ln(x + y)
e pede a derivada y'=dydx. Vamos usar diferenciação implícita aplicando a fórmula
ddxl[ln(u)r] = u'u

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddxl[ln(y - x)r] = ddxl[ln(x + y)r]
ou seja
(y - x)'y - x = (x + y)'x + y

Passo 3

Como (y - x)' = y' - 1 e (x + y)' = 1 + y', isso vira
y' - 1y - x = 1 + y'x + y

Passo 4

Fazendo o cross-multiply para eliminar denominadores:
(y' - 1)(x + y) = (1 + y')(y - x)

Passo 5

Desenvolvendo e agrupando os termos com y':
y'x + y'y - x - y = y + y'y - x - y'x
Reagrupando todos os y' num lado e os demais no outro, chega-se a
2x,y' = 2y

Resposta

y' = yx

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