Usando a derivação implícita determine \frac{d y}{d x} nas equações abaixo:
y \sin \left(\frac{1}{y}\right)=1-x y.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)=1-xy
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).\n
Informações relevantes que temos: a relação entre x e y é implícita (ou seja, y depende de x, y=y(x)), e precisamos usar diferenciação tomando isso em conta. Não há mais dados numéricos; queremos uma expressão algébrica para \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras que usaremos (explicadas de forma simples):
  1. Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}. Isso significa: deriva o primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
  1. Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
No nosso problema aparecerá \sin\big(\tfrac{1}{y}\big), que é uma composição: função externa \sin(u) e função interna u=\tfrac{1}{y}. Ao derivar \sin(\tfrac{1}{y}) em relação a x devemos multiplicar \cos(\tfrac{1}{y}) pela derivada de \tfrac{1}{y} em relação a x.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Comecemos pelo lado esquerdo \;y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right). Aplicando a regra do produto com u=y e v=\sin\!\left(\frac{1}{y}\right), obtemos
\frac{d}{dx}\left[y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{dy}{dx}\,\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)+y\cdot\frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right].

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\left[\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right] usando a regra da cadeia. A derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Aqui u=\tfrac{1}{y}, logo
\frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right).
Agora \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{y}\right) exige lembrar que y=y(x). Podemos escrever \dfrac{1}{y}=y^{-1} e então
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big)=-1\cdot y^{-2}\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\left[\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}\right)=-\frac{1}{y^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Substituindo esse resultado no Passo 3, a derivada do lado esquerdo fica
\frac{d}{dx}\left[y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{dy}{dx}\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)+y\left(-\frac{1}{y^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\frac{dy}{dx}\right).
Simplificando y\cdot\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{y}, obtemos
\frac{d}{dx}\left[y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{dy}{dx}\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\frac{dy}{dx}.
Agora fatoramos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{d}{dx}\left[y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{dy}{dx}\left(\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\right).

Passo 6

Derivamos o lado direito da equação \;1-xy. A derivada de 1 é 0. Para -xy aplicamos a regra do produto a x e y (lembrando que x é a variável independente, então \dfrac{d}{dx}x=1):
\frac{d}{dx}\big(-xy\big)=-\big(1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}\big)=-y-x\frac{dy}{dx}.
Assim o lado direito deriva para -y-x\frac{dy}{dx}.

Passo 7

Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
\frac{dy}{dx}\left(\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\right)=-y-x\frac{dy}{dx}.
Vamos agrupar todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado. Somando x\frac{dy}{dx} aos dois lados:
\frac{dy}{dx}\left(\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)+x\right)=-y.

Passo 8

Finalmente, isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{\;x+\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\dfrac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\; }.
Essa é a expressão da derivada implícita. Lembre-se de que essa fórmula só vale quando o denominador não for zero.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{\,x+\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\dfrac{1}{y}\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)\,}

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