Usando a derivação implícita determine
nas equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
(a derivada de
em relação a
).\n
Informações relevantes que temos: a relação entre e
é implícita (ou seja,
depende de
,
), e precisamos usar diferenciação tomando isso em conta. Não há mais dados numéricos; queremos uma expressão algébrica para
.
Informações relevantes que temos: a relação entre
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , então
onde
e
. Isso significa: deriva o primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da cadeia: se
, então
No nosso problema aparecerá
, que é uma composição: função externa
e função interna
. Ao derivar
em relação a
devemos multiplicar
pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Comecemos pelo lado esquerdo
. Aplicando a regra do produto com
e
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui
, logo
Agora
exige lembrar que
. Podemos escrever
e então
Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado no Passo 3, a derivada do lado esquerdo fica
Simplificando
, obtemos
Agora fatoramos
:
Passo 6
Derivamos o lado direito da equação
. A derivada de
é
. Para
aplicamos a regra do produto a
e
(lembrando que
é a variável independente, então
):
Assim o lado direito deriva para
.
Passo 7
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
Vamos agrupar todos os termos que contêm
no mesmo lado. Somando
aos dois lados:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica
:
Essa é a expressão da derivada implícita. Lembre-se de que essa fórmula só vale quando o denominador não for zero.