Usando derivação implícita, encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
x y+y z+z x=5, (1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida implicitamente por
xy + yz + zx = 5
no ponto (1,2,1). Para isso usamos derivação implícita: definimos
F(x,y,z) = xy + yz + zx - 5 = 0
e obtemos o vetor normal pela gradiente de F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x = y + z, partial Fpartial y = x + z, partial Fpartial z = x + y

Passo 3

Avaliando em (1,2,1) obtemos
nabla F(1,2,1) = l(y+z,;x+z,;x+yr)|(1,2,1) = (2+1,;1+1,;1+2) = (3,2,3)
Esse é o vetor normal ao plano tangente. Logo a equação do plano é
3,(x-1) + 2,(y-2) + 3,(z-1) = 0
que simplifica para
3x + 2y + 3z - 10 = 0

Passo 4

A reta normal passa por (1,2,1) na direção do vetor (3,2,3). Suas equações paramétricas são
x = 1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 1 + 3t

Resposta

Plano tangente:
3x + 2y + 3z - 10 = 0
Reta normal:
x = 1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 1 + 3t

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