Usando novamente o exemplo 08 do capitulo 01 do livro texto, mostre que se
, e os
são todos positivos, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência
com todos os
e
. Queremos mostrar que a média geométrica dos
primeiros termos,
tende a
. Para isso vamos usar o resultado do exemplo 08, que afirma que se
então
e também a continuidade das funções
e
.
Passo 2
Definimos
Como
para todo
,
está bem definido. Usando continuidade do logaritmo e
, temos
Passo 3
Pelo resultado do exemplo 08, a média aritmética de
converge para o mesmo limite. Definimos
Então
Passo 4
Reescrevendo
em termos de
, temos
Portanto
Como a exponencial é contínua, ao tomar limite obtém-se
Resposta
Portanto,