Usando novamente o exemplo 08 do capitulo 01 do livro texto, mostre que se lim xn=a, e os xn são todos positivos, então lim raiz[n]x1 x2 ldots xn=a.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência (xn) com todos os xn>0 e lim xn = a. Queremos mostrar que a média geométrica dos n primeiros termos,
raiz[n]x1 x2 cdots xn,
tende a a. Para isso vamos usar o resultado do exemplo 08, que afirma que se lim yn = L então
limntoinftyy1 + y2 + cdots + ynn = L,
e também a continuidade das funções log e exp.

Passo 2

Definimos
yn = log xn
Como xn>0 para todo n, log xn está bem definido. Usando continuidade do logaritmo e lim xn = a, temos
limntoinfty yn = limntoinfty log xn = logl(limntoinfty xnr) = log a

Passo 3

Pelo resultado do exemplo 08, a média aritmética de (yn) converge para o mesmo limite. Definimos
sn = y1 + y2 + cdots + ynn
Então
limntoinfty sn = log a

Passo 4

Reescrevendo sn em termos de (xn), temos
sn = 1nsumk=1^n log xk = logl(raiz[n]x1 x2 cdots xnr)
Portanto
raiz[n]x1 x2 cdots xn = exp(sn)
Como a exponencial é contínua, ao tomar limite obtém-se
limntoinftyraiz[n]x1 x2 cdots xn = expl(limntoinftysnr) = exp(log a) = a

Resposta

Portanto,
limntoinftyraiz[n]x1 x2 cdots xn = a

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