Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para encontrar a função
cujo Laplace é essa.
Informações relevantes do enunciado:
a transformada conhecida é
.
precisamos obter
— ou seja, inverter a transformada de Laplace.
Informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Escolha do método e propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática): usaremos a propriedade que relaciona derivada em
com multiplicação por
no tempo. A propriedade é:
Explicação e prova curta dessa propriedade: se
, então derivando em
por dentro da integral (justificável por teoremas de convergência) obtemos
Portanto
. Essa propriedade é muito útil quando aparece uma derivada em
na transformada.
Também lembraremos da transformada básica:
Passo 3
Reescrevemos a transformada dada de uma forma que envolva derivada em
. Observe que, para
,
Isolando
temos
No nosso caso
, logo
Passo 4
Identificamos a transformada inversa de
. Usando
com
, obtemos
Portanto a função cuja transformada é
é
Passo 5
Aplicamos a propriedade da derivada em
com
e
. Sabemos que
Da igualdade obtida no Passo 3,
Logo a transformada dada é metade da transformada de
. Portanto a função buscada é
Passo 6
Substituímos
em
:
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calculemos
usando a propriedade de derivada:
começamos com . Então
começamos com
Multiplicando por
(porque
) obtemos
confirmando que a resposta está correta.