Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
e pede para encontrar a função f(t) cujo Laplace é essa.
Informações relevantes do enunciado:
\;1\; a transformada conhecida é \displaystyle \frac{s}{(s^{2}+16)^{2}}.
\;2\; precisamos obter f(t) — ou seja, inverter a transformada de Laplace.

Passo 2

Escolha do método e propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática): usaremos a propriedade que relaciona derivada em s com multiplicação por t no tempo. A propriedade é:
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathscr{L}\{g\}(s)\bigr].
Explicação e prova curta dessa propriedade: se \displaystyle G(s)=\mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt, então derivando em s por dentro da integral (justificável por teoremas de convergência) obtemos
\frac{d}{ds}G(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}\bigr)g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}g(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Portanto \mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-G'(s). Essa propriedade é muito útil quando aparece uma derivada em s na transformada.
Também lembraremos da transformada básica:
\mathscr{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathscr{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

Reescrevemos a transformada dada de uma forma que envolva derivada em s. Observe que, para a>0,
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right) = -\frac{2s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Isolando \dfrac{s}{(s^{2}+a^{2})^{2}} temos
\frac{s}{(s^{2}+a^{2})^{2}} = -\frac{1}{2}\,\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right).
No nosso caso a=4, logo
\frac{s}{(s^{2}+16)^{2}} = -\frac{1}{2}\,\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+16}\right).

Passo 4

Identificamos a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{2}+16}. Usando \mathscr{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com a=4, obtemos
\frac{1}{s^{2}+16}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{s^{2}+16}=\mathscr{L}\!\left\{\frac{1}{4}\sin(4t)\right\}(s).
Portanto a função cuja transformada é \dfrac{1}{s^{2}+16} é
g(t)=\frac{1}{4}\sin(4t).

Passo 5

Aplicamos a propriedade da derivada em s com G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+16} e g(t)=\dfrac{1}{4}\sin(4t). Sabemos que
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}G(s).
Da igualdade obtida no Passo 3,
\frac{s}{(s^{2}+16)^{2}} = -\frac{1}{2}\,\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+16}\right) = \frac{1}{2}\,\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Logo a transformada dada é metade da transformada de t g(t). Portanto a função buscada é
f(t)=\frac{1}{2}\,t\,g(t).

Passo 6

Substituímos g(t)=\dfrac{1}{4}\sin(4t) em f(t)=\dfrac{1}{2}t g(t):
f(t)=\frac{1}{2}\,t\cdot\frac{1}{4}\sin(4t)=\frac{1}{8}\,t\sin(4t).

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calculemos \mathscr{L}\{f\}(s) usando a propriedade de derivada:
começamos com \mathscr{L}\{\sin(4t)\}(s)=\dfrac{4}{s^{2}+16}. Então
\mathscr{L}\{t\sin(4t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{4}{s^{2}+16}\right) = -4\cdot\left(-\frac{2s}{(s^{2}+16)^{2}}\right)=\frac{8s}{(s^{2}+16)^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{1}{8} (porque f(t)=\dfrac{1}{8}t\sin(4t)) obtemos
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{1}{8}\cdot\frac{8s}{(s^{2}+16)^{2}}=\frac{s}{(s^{2}+16)^{2}},
confirmando que a resposta está correta.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{8}\,t\sin(4t)

Exercícios relacionados