Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty x^2 n-12 n-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série de potências sumn=1^inftyx^2n-12n-1 usando derivação e integração termo a termo. O conteúdo aqui envolve séries de potências, derivada e integral de séries e a relação com funções elementares.

Passo 2

Denotando f(x)=sumn=1^inftyx^2n-12n-1, derivamos termo a termo:
f'(x)=ddxl(sumn=1^inftyx^2n-12n-1r)=sumn=1^inftyx^2n-2=sumk=0^inftyx^2k=11-x^2,

Passo 3

Agora integramos f'(x)=1/(1-x^2) para obter f(x):
f(x)=integraldx1-x^2=12lnl|1+x1-xr|+C

Passo 4

Usamos a condição natural f(0)=0, pois a soma da série em x=0 é zero. Logo:
0=f(0)=12ln!l|1+01-0r|+Cimplies C=0

Resposta

sumn=1^inftyx^2n-12n-1=tfrac12ln!gl(1+x1-xgr)

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